Integral de x(x+1)/(x-1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x \left(x + 1\right)}{x - 1} = x + 2 + \frac{2}{x - 1}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 2\, dx = 2 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2}{x - 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

         1. que $u = x - 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(x - 1 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} + 2 x + 2 \log{\left(x - 1 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x \left(x + 1\right)}{x - 1} = \frac{x^{2} + x}{x - 1}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2} + x}{x - 1} = x + 2 + \frac{2}{x - 1}$

   3. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 2\, dx = 2 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2}{x - 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

         1. que $u = x - 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(x - 1 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} + 2 x + 2 \log{\left(x - 1 \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x \left(x + 1\right)}{x - 1} = \frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

   2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{2}}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         1. que $u = x - 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 1 \right)}$

         El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} + x + \log{\left(x - 1 \right)}$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x}{x - 1} = 1 + \frac{1}{x - 1}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         1. que $u = x - 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 1 \right)}$

         El resultado es: $x + \log{\left(x - 1 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{2}}{2} + 2 x + 2 \log{\left(x - 1 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2}}{2} + 2 x + 2 \log{\left(x - 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2}}{2} + 2 x + 2 \log{\left(x - 1 \right)}+ \mathrm{constant}$