Integral de e^x*cos(2*e^x+5) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \cos{\left(2 u + 5 \right)}\, du$

      1. que $u = 2 u + 5$.

         Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin{\left(2 u + 5 \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sin{\left(2 e^{x} + 5 \right)}}{2}$

   Método #2

   1. que $u = 2 e^{x} + 5$.

      Luego que $du = 2 e^{x} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sin{\left(2 e^{x} + 5 \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sin{\left(2 e^{x} + 5 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sin{\left(2 e^{x} + 5 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$