Integral de e^(-x)*x*sin(t-x) dx

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  t                    
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 |                     
 |   -x                
 |  E  *x*sin(t - x) dx
 |                     
/                      
0

\int\limits_{0}^{t} e^{- x} x \sin{\left(t - x \right)}\, dx

Integral((E^(-x)*x)*sin(t - x), (x, 0, t))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = - x$ .
  
  Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$ :
  
  $\int u e^{u} \sin{\left(t + u \right)}\, du$
  1. Usamos la integración por partes:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u} \sin{\left(u + t \right)}$ .
    
    Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
    
    Para buscar $v{\left(u \right)}$ :
    1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.
      
      Para el integrando $e^{u} \sin{\left(u + t \right)}$ :
      
      que $u{\left(u \right)} = \sin{\left(u + t \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$ .
      
      Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u + t \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u + t \right)} - \int e^{u} \cos{\left(u + t \right)}\, du$ .
      
      Para el integrando $e^{u} \cos{\left(u + t \right)}$ :
      
      que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u + t \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$ .
      
      Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u + t \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u + t \right)} - e^{u} \cos{\left(u + t \right)} + \int \left(- e^{u} \sin{\left(u + t \right)}\right)\, du$ .
      
      Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:
      
      $2 \int e^{u} \sin{\left(u + t \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u + t \right)} - e^{u} \cos{\left(u + t \right)}$
      
      Por lo tanto,
      
      $\int e^{u} \sin{\left(u + t \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u + t \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u + t \right)}}{2}$
    Ahora resolvemos podintegral.
  2. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{e^{u} \sin{\left(u + t \right)}}{2}\, du = \frac{\int e^{u} \sin{\left(u + t \right)}\, du}{2}$
      
      Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.
      
      Para el integrando $e^{u} \sin{\left(u + t \right)}$ :
      
      que $u{\left(u \right)} = \sin{\left(u + t \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$ .
      
      Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u + t \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u + t \right)} - \int e^{u} \cos{\left(u + t \right)}\, du$ .
      
      Para el integrando $e^{u} \cos{\left(u + t \right)}$ :
      
      que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u + t \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$ .
      
      Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u + t \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u + t \right)} - e^{u} \cos{\left(u + t \right)} + \int \left(- e^{u} \sin{\left(u + t \right)}\right)\, du$ .
      
      Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:
      
      $2 \int e^{u} \sin{\left(u + t \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u + t \right)} - e^{u} \cos{\left(u + t \right)}$
      
      Por lo tanto,
      
      $\int e^{u} \sin{\left(u + t \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u + t \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u + t \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u} \sin{\left(u + t \right)}}{4} - \frac{e^{u} \cos{\left(u + t \right)}}{4}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{e^{u} \cos{\left(u + t \right)}}{2}\right)\, du = - \frac{\int e^{u} \cos{\left(u + t \right)}\, du}{2}$
      
      Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.
      
      Para el integrando $e^{u} \cos{\left(u + t \right)}$ :
      
      que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u + t \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$ .
      
      Entonces $\int e^{u} \cos{\left(u + t \right)}\, du = e^{u} \cos{\left(u + t \right)} - \int \left(- e^{u} \sin{\left(u + t \right)}\right)\, du$ .
      
      Para el integrando $- e^{u} \sin{\left(u + t \right)}$ :
      
      que $u{\left(u \right)} = - \sin{\left(u + t \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$ .
      
      Entonces $\int e^{u} \cos{\left(u + t \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u + t \right)} + e^{u} \cos{\left(u + t \right)} + \int \left(- e^{u} \cos{\left(u + t \right)}\right)\, du$ .
      
      Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:
      
      $2 \int e^{u} \cos{\left(u + t \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u + t \right)} + e^{u} \cos{\left(u + t \right)}$
      
      Por lo tanto,
      
      $\int e^{u} \cos{\left(u + t \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u + t \right)}}{2} + \frac{e^{u} \cos{\left(u + t \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u} \sin{\left(u + t \right)}}{4} - \frac{e^{u} \cos{\left(u + t \right)}}{4}$
    El resultado es: $- \frac{e^{u} \cos{\left(u + t \right)}}{2}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $- x \left(\frac{e^{- x} \sin{\left(t - x \right)}}{2} - \frac{e^{- x} \cos{\left(t - x \right)}}{2}\right) + \frac{e^{- x} \cos{\left(t - x \right)}}{2}$
Método #2
1. Usamos la integración por partes:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- x} \sin{\left(t - x \right)}$ .
  
  Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$ .
  
  Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
  1. que $u = - x$ .
    
    Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$ :
    
    $\int \left(- e^{u} \sin{\left(t + u \right)}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int e^{u} \sin{\left(u + t \right)}\, du = - \int e^{u} \sin{\left(u + t \right)}\, du$
      
      Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.
      
      Para el integrando $e^{u} \sin{\left(u + t \right)}$ :
      
      que $u{\left(u \right)} = \sin{\left(u + t \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$ .
      
      Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u + t \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u + t \right)} - \int e^{u} \cos{\left(u + t \right)}\, du$ .
      
      Para el integrando $e^{u} \cos{\left(u + t \right)}$ :
      
      que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u + t \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$ .
      
      Entonces $\int e^{u} \sin{\left(u + t \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u + t \right)} - e^{u} \cos{\left(u + t \right)} + \int \left(- e^{u} \sin{\left(u + t \right)}\right)\, du$ .
      
      Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:
      
      $2 \int e^{u} \sin{\left(u + t \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u + t \right)} - e^{u} \cos{\left(u + t \right)}$
      
      Por lo tanto,
      
      $\int e^{u} \sin{\left(u + t \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u + t \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u + t \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u} \sin{\left(u + t \right)}}{2} + \frac{e^{u} \cos{\left(u + t \right)}}{2}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{e^{- x} \sin{\left(t - x \right)}}{2} + \frac{e^{- x} \cos{\left(t - x \right)}}{2}$
  Ahora resolvemos podintegral.
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{e^{- x} \sin{\left(t - x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int e^{- x} \sin{\left(t - x \right)}\, dx}{2}$
    1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.
      
      Para el integrando $e^{- x} \sin{\left(t - x \right)}$ :
      
      que $u{\left(x \right)} = \sin{\left(t - x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- x}$ .
      
      Entonces $\int e^{- x} \sin{\left(t - x \right)}\, dx = - \int e^{- x} \cos{\left(t - x \right)}\, dx - e^{- x} \sin{\left(t - x \right)}$ .
      
      Para el integrando $e^{- x} \cos{\left(t - x \right)}$ :
      
      que $u{\left(x \right)} = \cos{\left(t - x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- x}$ .
      
      Entonces $\int e^{- x} \sin{\left(t - x \right)}\, dx = \int \left(- e^{- x} \sin{\left(t - x \right)}\right)\, dx - e^{- x} \sin{\left(t - x \right)} + e^{- x} \cos{\left(t - x \right)}$ .
      
      Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:
      
      $2 \int e^{- x} \sin{\left(t - x \right)}\, dx = - e^{- x} \sin{\left(t - x \right)} + e^{- x} \cos{\left(t - x \right)}$
      
      Por lo tanto,
      
      $\int e^{- x} \sin{\left(t - x \right)}\, dx = - \frac{e^{- x} \sin{\left(t - x \right)}}{2} + \frac{e^{- x} \cos{\left(t - x \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{- x} \sin{\left(t - x \right)}}{4} - \frac{e^{- x} \cos{\left(t - x \right)}}{4}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{e^{- x} \cos{\left(t - x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int e^{- x} \cos{\left(t - x \right)}\, dx}{2}$
    1. que $u = - x$ .
      
      Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- e^{u} \cos{\left(t + u \right)}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int e^{u} \cos{\left(u + t \right)}\, du = - \int e^{u} \cos{\left(u + t \right)}\, du$
      
      Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.
      
      Para el integrando $e^{u} \cos{\left(u + t \right)}$ :
      
      que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u + t \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$ .
      
      Entonces $\int e^{u} \cos{\left(u + t \right)}\, du = e^{u} \cos{\left(u + t \right)} - \int \left(- e^{u} \sin{\left(u + t \right)}\right)\, du$ .
      
      Para el integrando $- e^{u} \sin{\left(u + t \right)}$ :
      
      que $u{\left(u \right)} = - \sin{\left(u + t \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$ .
      
      Entonces $\int e^{u} \cos{\left(u + t \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u + t \right)} + e^{u} \cos{\left(u + t \right)} + \int \left(- e^{u} \cos{\left(u + t \right)}\right)\, du$ .
      
      Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:
      
      $2 \int e^{u} \cos{\left(u + t \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(u + t \right)} + e^{u} \cos{\left(u + t \right)}$
      
      Por lo tanto,
      
      $\int e^{u} \cos{\left(u + t \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(u + t \right)}}{2} + \frac{e^{u} \cos{\left(u + t \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u} \sin{\left(u + t \right)}}{2} - \frac{e^{u} \cos{\left(u + t \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{e^{- x} \sin{\left(t - x \right)}}{2} - \frac{e^{- x} \cos{\left(t - x \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{- x} \sin{\left(t - x \right)}}{4} - \frac{e^{- x} \cos{\left(t - x \right)}}{4}$
  El resultado es: $- \frac{e^{- x} \cos{\left(t - x \right)}}{2}$
Ahora simplificar:

$\frac{\left(\sqrt{2} x \cos{\left(t - x + \frac{\pi}{4} \right)} + \cos{\left(t - x \right)}\right) e^{- x}}{2}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{\left(\sqrt{2} x \cos{\left(t - x + \frac{\pi}{4} \right)} + \cos{\left(t - x \right)}\right) e^{- x}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(\sqrt{2} x \cos{\left(t - x + \frac{\pi}{4} \right)} + \cos{\left(t - x \right)}\right) e^{- x}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                                              
 |                                       -x     / -x                          -x\
 |  -x                       cos(t - x)*e       |e  *sin(t - x)   cos(t - x)*e  |
 | E  *x*sin(t - x) dx = C + -------------- - x*|-------------- - --------------|
 |                                 2            \      2                2       /
/

\int e^{- x} x \sin{\left(t - x \right)}\, dx = C - x \left(\frac{e^{- x} \sin{\left(t - x \right)}}{2} - \frac{e^{- x} \cos{\left(t - x \right)}}{2}\right) + \frac{e^{- x} \cos{\left(t - x \right)}}{2}

Simplificar

Respuesta [src]

 -t               -t
e     cos(t)   t*e  
--- - ------ + -----
 2      2        2

\frac{t e^{- t}}{2} - \frac{\cos{\left(t \right)}}{2} + \frac{e^{- t}}{2}

=

 -t               -t
e     cos(t)   t*e  
--- - ------ + -----
 2      2        2

\frac{t e^{- t}}{2} - \frac{\cos{\left(t \right)}}{2} + \frac{e^{- t}}{2}

exp(-t)/2 - cos(t)/2 + t*exp(-t)/2

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de e^(-x)xsin(t-x) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2