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Integral de log(x^8-1)-log(x^4-1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                               
  /                               
 |                                
 |  /   / 8    \      / 4    \\   
 |  \log\x  - 1/ - log\x  - 1// dx
 |                                
/                                 
0                                 
$$\int\limits_{0}^{1} \left(- \log{\left(x^{4} - 1 \right)} + \log{\left(x^{8} - 1 \right)}\right)\, dx$$
Integral(log(x^8 - 1) - log(x^4 - 1), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      1. Usamos la integración por partes:

        que y que .

        Entonces .

        Para buscar :

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        1. Vuelva a escribir el integrando:

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False)], context=1/(x**2 + 1), symbol=x)

            Por lo tanto, el resultado es:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            1. que .

              Luego que y ponemos :

              1. Integral es .

              Si ahora sustituir más en:

            Por lo tanto, el resultado es:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            1. que .

              Luego que y ponemos :

              1. Integral es .

              Si ahora sustituir más en:

            Por lo tanto, el resultado es:

          El resultado es:

        Por lo tanto, el resultado es:

      Por lo tanto, el resultado es:

    1. Usamos la integración por partes:

      que y que .

      Entonces .

      Para buscar :

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

          Por lo tanto, el resultado es:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False)], context=1/(x**2 + 1), symbol=x)

          Por lo tanto, el resultado es:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          1. que .

            Luego que y ponemos :

            1. Integral es .

            Si ahora sustituir más en:

          Por lo tanto, el resultado es:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          1. que .

            Luego que y ponemos :

            1. Integral es .

            Si ahora sustituir más en:

          Por lo tanto, el resultado es:

        El resultado es:

      Por lo tanto, el resultado es:

    El resultado es:

  2. Ahora simplificar:

  3. Añadimos la constante de integración:


Respuesta:

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                                                                                                                                                         
 |                                                                                                                   ___    /     2       ___\                     ___    /     2       ___\
 | /   / 8    \      / 4    \\                     / 8    \     ___     /        ___\     ___     /         ___\   \/ 2 *log\1 + x  + x*\/ 2 /        / 4    \   \/ 2 *log\1 + x  - x*\/ 2 /
 | \log\x  - 1/ - log\x  - 1// dx = C - 4*x + x*log\x  - 1/ + \/ 2 *atan\1 + x*\/ 2 / + \/ 2 *atan\-1 + x*\/ 2 / + --------------------------- - x*log\x  - 1/ - ---------------------------
 |                                                                                                                              2                                             2             
/                                                                                                                                                                                           
$$\int \left(- \log{\left(x^{4} - 1 \right)} + \log{\left(x^{8} - 1 \right)}\right)\, dx = C - x \log{\left(x^{4} - 1 \right)} + x \log{\left(x^{8} - 1 \right)} - 4 x - \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt{2} x + 1 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt{2} x + 1 \right)}}{2} + \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)} + \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x + 1 \right)}$$
Gráfica
Respuesta [src]
          ___     ___    /      ___\     ___    /      ___\         
     pi*\/ 2    \/ 2 *log\2 + \/ 2 /   \/ 2 *log\2 - \/ 2 /         
-4 + -------- + -------------------- - -------------------- + log(2)
        2                2                      2                   
$$-4 - \frac{\sqrt{2} \log{\left(2 - \sqrt{2} \right)}}{2} + \log{\left(2 \right)} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(\sqrt{2} + 2 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{2} \pi}{2}$$
=
=
          ___     ___    /      ___\     ___    /      ___\         
     pi*\/ 2    \/ 2 *log\2 + \/ 2 /   \/ 2 *log\2 - \/ 2 /         
-4 + -------- + -------------------- - -------------------- + log(2)
        2                2                      2                   
$$-4 - \frac{\sqrt{2} \log{\left(2 - \sqrt{2} \right)}}{2} + \log{\left(2 \right)} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(\sqrt{2} + 2 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{2} \pi}{2}$$
-4 + pi*sqrt(2)/2 + sqrt(2)*log(2 + sqrt(2))/2 - sqrt(2)*log(2 - sqrt(2))/2 + log(2)
Respuesta numérica [src]
(0.161039129919589 + 0.0j)
(0.161039129919589 + 0.0j)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.