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Resolución de integrales/ log(x^8-1)-log(x^4-1)

Integral de log(x^8-1)-log(x^4-1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                               
  /                               
 |                                
 |  /   / 8    \      / 4    \\   
 |  \log\x  - 1/ - log\x  - 1// dx
 |                                
/                                 
0
∫01(−log⁡(x4−1)+log⁡(x8−1)) dx\int\limits_{0}^{1} \left(- \log{\left(x^{4} - 1 \right)} + \log{\left(x^{8} - 1 \right)}\right)\, dx 
Integral(log(x^8 - 1) - log(x^4 - 1), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−log⁡(x4−1)) dx=−∫log⁡(x4−1) dx\int \left(- \log{\left(x^{4} - 1 \right)}\right)\, dx = - \int \log{\left(x^{4} - 1 \right)}\, dx

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=log⁡(x4−1)u{\left(x \right)} = \log{\left(x^{4} - 1 \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

        Entonces du⁡(x)=4x3x4−1\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{4 x^{3}}{x^{4} - 1}.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4x4x4−1 dx=4∫x4x4−1 dx\int \frac{4 x^{4}}{x^{4} - 1}\, dx = 4 \int \frac{x^{4}}{x^{4} - 1}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x4x4−1=1−12(x2+1)−14(x+1)+14(x−1)\frac{x^{4}}{x^{4} - 1} = 1 - \frac{1}{2 \left(x^{2} + 1\right)} - \frac{1}{4 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{4 \left(x - 1\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−12(x2+1)) dx=−∫1x2+1 dx2\int \left(- \frac{1}{2 \left(x^{2} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx}{2}

              PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False)], context=1/(x**2 + 1), symbol=x)

            Por lo tanto, el resultado es: −atan⁡(x)2- \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−14(x+1)) dx=−∫1x+1 dx4\int \left(- \frac{1}{4 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{4}

            1. que u=x+1u = x + 1.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)4- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫14(x−1) dx=∫1x−1 dx4\int \frac{1}{4 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{4}

            1. que u=x−1u = x - 1.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−1)4\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{4}

          El resultado es: x+log⁡(x−1)4−log⁡(x+1)4−atan⁡(x)2x + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 4x+log⁡(x−1)−log⁡(x+1)−2atan⁡(x)4 x + \log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x + 1 \right)} - 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −xlog⁡(x4−1)+4x+log⁡(x−1)−log⁡(x+1)−2atan⁡(x)- x \log{\left(x^{4} - 1 \right)} + 4 x + \log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x + 1 \right)} - 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(x8−1)u{\left(x \right)} = \log{\left(x^{8} - 1 \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

      Entonces du⁡(x)=8x7x8−1\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{8 x^{7}}{x^{8} - 1}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫8x8x8−1 dx=8∫x8x8−1 dx\int \frac{8 x^{8}}{x^{8} - 1}\, dx = 8 \int \frac{x^{8}}{x^{8} - 1}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x8x8−1=1−12(x4+1)−14(x2+1)−18(x+1)+18(x−1)\frac{x^{8}}{x^{8} - 1} = 1 - \frac{1}{2 \left(x^{4} + 1\right)} - \frac{1}{4 \left(x^{2} + 1\right)} - \frac{1}{8 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{8 \left(x - 1\right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−12(x4+1)) dx=−∫1x4+1 dx2\int \left(- \frac{1}{2 \left(x^{4} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x^{4} + 1}\, dx}{2}

          1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            −2log⁡(x2−2x+1)8+2log⁡(x2+2x+1)8+2atan⁡(2x−1)4+2atan⁡(2x+1)4- \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt{2} x + 1 \right)}}{8} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt{2} x + 1 \right)}}{8} + \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)}}{4} + \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x + 1 \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(x2−2x+1)16−2log⁡(x2+2x+1)16−2atan⁡(2x−1)8−2atan⁡(2x+1)8\frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt{2} x + 1 \right)}}{16} - \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt{2} x + 1 \right)}}{16} - \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)}}{8} - \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x + 1 \right)}}{8}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−14(x2+1)) dx=−∫1x2+1 dx4\int \left(- \frac{1}{4 \left(x^{2} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx}{4}

            PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False)], context=1/(x**2 + 1), symbol=x)

          Por lo tanto, el resultado es: −atan⁡(x)4- \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−18(x+1)) dx=−∫1x+1 dx8\int \left(- \frac{1}{8 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{8}

          1. que u=x+1u = x + 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)8- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{8}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫18(x−1) dx=∫1x−1 dx8\int \frac{1}{8 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{8}

          1. que u=x−1u = x - 1.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−1)8\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{8}

        El resultado es: x+log⁡(x−1)8−log⁡(x+1)8+2log⁡(x2−2x+1)16−2log⁡(x2+2x+1)16−atan⁡(x)4−2atan⁡(2x−1)8−2atan⁡(2x+1)8x + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{8} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{8} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt{2} x + 1 \right)}}{16} - \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt{2} x + 1 \right)}}{16} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)}}{8} - \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x + 1 \right)}}{8}

      Por lo tanto, el resultado es: 8x+log⁡(x−1)−log⁡(x+1)+2log⁡(x2−2x+1)2−2log⁡(x2+2x+1)2−2atan⁡(x)−2atan⁡(2x−1)−2atan⁡(2x+1)8 x + \log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x + 1 \right)} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt{2} x + 1 \right)}}{2} - \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt{2} x + 1 \right)}}{2} - 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)} - \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x + 1 \right)}

    El resultado es: −xlog⁡(x4−1)+xlog⁡(x8−1)−4x−2log⁡(x2−2x+1)2+2log⁡(x2+2x+1)2+2atan⁡(2x−1)+2atan⁡(2x+1)- x \log{\left(x^{4} - 1 \right)} + x \log{\left(x^{8} - 1 \right)} - 4 x - \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt{2} x + 1 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt{2} x + 1 \right)}}{2} + \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)} + \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x + 1 \right)}

  2. Ahora simplificar:

    −xlog⁡(x4−1)+xlog⁡(x8−1)−4x−2log⁡(x2−2x+1)2+2log⁡(x2+2x+1)2+2atan⁡(2x−1)+2atan⁡(2x+1)- x \log{\left(x^{4} - 1 \right)} + x \log{\left(x^{8} - 1 \right)} - 4 x - \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt{2} x + 1 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt{2} x + 1 \right)}}{2} + \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)} + \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x + 1 \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −xlog⁡(x4−1)+xlog⁡(x8−1)−4x−2log⁡(x2−2x+1)2+2log⁡(x2+2x+1)2+2atan⁡(2x−1)+2atan⁡(2x+1)+constant- x \log{\left(x^{4} - 1 \right)} + x \log{\left(x^{8} - 1 \right)} - 4 x - \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt{2} x + 1 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt{2} x + 1 \right)}}{2} + \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)} + \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−xlog⁡(x4−1)+xlog⁡(x8−1)−4x−2log⁡(x2−2x+1)2+2log⁡(x2+2x+1)2+2atan⁡(2x−1)+2atan⁡(2x+1)+constant- x \log{\left(x^{4} - 1 \right)} + x \log{\left(x^{8} - 1 \right)} - 4 x - \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt{2} x + 1 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt{2} x + 1 \right)}}{2} + \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)} + \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                                                                                                         
 |                                                                                                                   ___    /     2       ___\                     ___    /     2       ___\
 | /   / 8    \      / 4    \\                     / 8    \     ___     /        ___\     ___     /         ___\   \/ 2 *log\1 + x  + x*\/ 2 /        / 4    \   \/ 2 *log\1 + x  - x*\/ 2 /
 | \log\x  - 1/ - log\x  - 1// dx = C - 4*x + x*log\x  - 1/ + \/ 2 *atan\1 + x*\/ 2 / + \/ 2 *atan\-1 + x*\/ 2 / + --------------------------- - x*log\x  - 1/ - ---------------------------
 |                                                                                                                              2                                             2             
/
∫(−log⁡(x4−1)+log⁡(x8−1)) dx=C−xlog⁡(x4−1)+xlog⁡(x8−1)−4x−2log⁡(x2−2x+1)2+2log⁡(x2+2x+1)2+2atan⁡(2x−1)+2atan⁡(2x+1)\int \left(- \log{\left(x^{4} - 1 \right)} + \log{\left(x^{8} - 1 \right)}\right)\, dx = C - x \log{\left(x^{4} - 1 \right)} + x \log{\left(x^{8} - 1 \right)} - 4 x - \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt{2} x + 1 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt{2} x + 1 \right)}}{2} + \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)} + \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x + 1 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.01.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
          ___     ___    /      ___\     ___    /      ___\         
     pi*\/ 2    \/ 2 *log\2 + \/ 2 /   \/ 2 *log\2 - \/ 2 /         
-4 + -------- + -------------------- - -------------------- + log(2)
        2                2                      2
−4−2log⁡(2−2)2+log⁡(2)+2log⁡(2+2)2+2π2-4 - \frac{\sqrt{2} \log{\left(2 - \sqrt{2} \right)}}{2} + \log{\left(2 \right)} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(\sqrt{2} + 2 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{2} \pi}{2} 
=
= 
          ___     ___    /      ___\     ___    /      ___\         
     pi*\/ 2    \/ 2 *log\2 + \/ 2 /   \/ 2 *log\2 - \/ 2 /         
-4 + -------- + -------------------- - -------------------- + log(2)
        2                2                      2
−4−2log⁡(2−2)2+log⁡(2)+2log⁡(2+2)2+2π2-4 - \frac{\sqrt{2} \log{\left(2 - \sqrt{2} \right)}}{2} + \log{\left(2 \right)} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(\sqrt{2} + 2 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{2} \pi}{2} 
-4 + pi*sqrt(2)/2 + sqrt(2)*log(2 + sqrt(2))/2 - sqrt(2)*log(2 - sqrt(2))/2 + log(2)
Respuesta numérica [src] 
(0.161039129919589 + 0.0j)
(0.161039129919589 + 0.0j)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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