Sr Examen

Lang:

Otras calculadoras

¿Cómo usar?
Integral de d{x}:
Integral de ((sin(x))^3)/(1+(cos(x))^2)
Integral de (sin(2x)+cos(2x))/(1+tg(x))
Integral de n
Integral de q
Expresiones idénticas
log(x^ ocho - uno)-log(x^ cuatro - uno)
logaritmo de (x en el grado 8 menos 1) menos logaritmo de (x en el grado 4 menos 1)
logaritmo de (x en el grado ocho menos uno) menos logaritmo de (x en el grado cuatro menos uno)
log(x8-1)-log(x4-1)
logx8-1-logx4-1
log(x⁸-1)-log(x⁴-1)
logx^8-1-logx^4-1
log(x^8-1)-log(x^4-1)dx
Expresiones semejantes
log(x^8-1)+log(x^4-1)
log(x^8-1)-log(x^4+1)
log(x^8+1)-log(x^4-1)
Expresiones con funciones
Logaritmo log
log(1+x)/sqrt(1+x)
log(arccos(ax))/sqrt(1-(ax)^2)
log(z)^2/z
log(x)+(e^2)/2-2x/9
log(x^2)dx
Logaritmo log
log(1+x)/sqrt(1+x)
log(arccos(ax))/sqrt(1-(ax)^2)
log(z)^2/z
log(x)+(e^2)/2-2x/9
log(x^2)dx

Resolución de integrales/ log(x^8-1)-log(x^4-1)

Integral de log(x^8-1)-log(x^4-1) dx

Solución

Ha introducido [src]

  1                               
  /                               
 |                                
 |  /   / 8    \      / 4    \\   
 |  \log\x  - 1/ - log\x  - 1// dx
 |                                
/                                 
0

$$\int\limits_{0}^{1} \left(- \log{\left(x^{4} - 1 \right)} + \log{\left(x^{8} - 1 \right)}\right)\, dx$$

Integral(log(x^8 - 1) - log(x^4 - 1), (x, 0, 1))

Solución detallada

Integramos término a término:
1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int \left(- \log{\left(x^{4} - 1 \right)}\right)\, dx = - \int \log{\left(x^{4} - 1 \right)}\, dx$
  1. Usamos la integración por partes:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x^{4} - 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$ .
    
    Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{4 x^{3}}{x^{4} - 1}$ .
    
    Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, dx = x$
    Ahora resolvemos podintegral.
  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{4 x^{4}}{x^{4} - 1}\, dx = 4 \int \frac{x^{4}}{x^{4} - 1}\, dx$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\frac{x^{4}}{x^{4} - 1} = 1 - \frac{1}{2 \left(x^{2} + 1\right)} - \frac{1}{4 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{4 \left(x - 1\right)}$
    2. Integramos término a término:
      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
        
        $\int 1\, dx = x$
      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
        
        $\int \left(- \frac{1}{2 \left(x^{2} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx}{2}$
        
        PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False)], context=1/(x**2 + 1), symbol=x)
        
        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}$
      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
        
        $\int \left(- \frac{1}{4 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{4}$
        
        que $u = x + 1$ .
        
        Luego que $du = dx$ y ponemos $du$ :
        
        $\int \frac{1}{u}\, du$
        
        Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
        
        Si ahora sustituir $u$ más en:
        
        $\log{\left(x + 1 \right)}$
        
        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4}$
      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
        
        $\int \frac{1}{4 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{4}$
        
        que $u = x - 1$ .
        
        Luego que $du = dx$ y ponemos $du$ :
        
        $\int \frac{1}{u}\, du$
        
        Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
        
        Si ahora sustituir $u$ más en:
        
        $\log{\left(x - 1 \right)}$
        
        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{4}$
      El resultado es: $x + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $4 x + \log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x + 1 \right)} - 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}$
  Por lo tanto, el resultado es: $- x \log{\left(x^{4} - 1 \right)} + 4 x + \log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x + 1 \right)} - 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)}$
1. Usamos la integración por partes:
  
  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
  
  que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x^{8} - 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$ .
  
  Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{8 x^{7}}{x^{8} - 1}$ .
  
  Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int 1\, dx = x$
  Ahora resolvemos podintegral.
2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int \frac{8 x^{8}}{x^{8} - 1}\, dx = 8 \int \frac{x^{8}}{x^{8} - 1}\, dx$
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\frac{x^{8}}{x^{8} - 1} = 1 - \frac{1}{2 \left(x^{4} + 1\right)} - \frac{1}{4 \left(x^{2} + 1\right)} - \frac{1}{8 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{8 \left(x - 1\right)}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, dx = x$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{1}{2 \left(x^{4} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x^{4} + 1}\, dx}{2}$
      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
        
        Pero la integral
        
        $- \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt{2} x + 1 \right)}}{8} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt{2} x + 1 \right)}}{8} + \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)}}{4} + \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x + 1 \right)}}{4}$
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt{2} x + 1 \right)}}{16} - \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt{2} x + 1 \right)}}{16} - \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)}}{8} - \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x + 1 \right)}}{8}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{1}{4 \left(x^{2} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx}{4}$
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{1}{8 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{8}$
      1. que $u = x + 1$ .
        
        Luego que $du = dx$ y ponemos $du$ :
        
        $\int \frac{1}{u}\, du$
        
        Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
        
        Si ahora sustituir $u$ más en:
        
        $\log{\left(x + 1 \right)}$
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{8}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{1}{8 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{8}$
      1. que $u = x - 1$ .
        
        Luego que $du = dx$ y ponemos $du$ :
        
        $\int \frac{1}{u}\, du$
        
        Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
        
        Si ahora sustituir $u$ más en:
        
        $\log{\left(x - 1 \right)}$
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{8}$
    El resultado es: $x + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{8} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{8} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt{2} x + 1 \right)}}{16} - \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt{2} x + 1 \right)}}{16} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)}}{8} - \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x + 1 \right)}}{8}$
  Por lo tanto, el resultado es: $8 x + \log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x + 1 \right)} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt{2} x + 1 \right)}}{2} - \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt{2} x + 1 \right)}}{2} - 2 \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)} - \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x + 1 \right)}$
El resultado es: $- x \log{\left(x^{4} - 1 \right)} + x \log{\left(x^{8} - 1 \right)} - 4 x - \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt{2} x + 1 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt{2} x + 1 \right)}}{2} + \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)} + \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x + 1 \right)}$
Ahora simplificar:

$- x \log{\left(x^{4} - 1 \right)} + x \log{\left(x^{8} - 1 \right)} - 4 x - \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt{2} x + 1 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt{2} x + 1 \right)}}{2} + \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)} + \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x + 1 \right)}$
Añadimos la constante de integración:

$- x \log{\left(x^{4} - 1 \right)} + x \log{\left(x^{8} - 1 \right)} - 4 x - \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt{2} x + 1 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt{2} x + 1 \right)}}{2} + \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)} + \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- x \log{\left(x^{4} - 1 \right)} + x \log{\left(x^{8} - 1 \right)} - 4 x - \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt{2} x + 1 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt{2} x + 1 \right)}}{2} + \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)} + \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                                                                                                                                                         
 |                                                                                                                   ___    /     2       ___\                     ___    /     2       ___\
 | /   / 8    \      / 4    \\                     / 8    \     ___     /        ___\     ___     /         ___\   \/ 2 *log\1 + x  + x*\/ 2 /        / 4    \   \/ 2 *log\1 + x  - x*\/ 2 /
 | \log\x  - 1/ - log\x  - 1// dx = C - 4*x + x*log\x  - 1/ + \/ 2 *atan\1 + x*\/ 2 / + \/ 2 *atan\-1 + x*\/ 2 / + --------------------------- - x*log\x  - 1/ - ---------------------------
 |                                                                                                                              2                                             2             
/

$$\int \left(- \log{\left(x^{4} - 1 \right)} + \log{\left(x^{8} - 1 \right)}\right)\, dx = C - x \log{\left(x^{4} - 1 \right)} + x \log{\left(x^{8} - 1 \right)} - 4 x - \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} - \sqrt{2} x + 1 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(x^{2} + \sqrt{2} x + 1 \right)}}{2} + \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x - 1 \right)} + \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} x + 1 \right)}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

          ___     ___    /      ___\     ___    /      ___\         
     pi*\/ 2    \/ 2 *log\2 + \/ 2 /   \/ 2 *log\2 - \/ 2 /         
-4 + -------- + -------------------- - -------------------- + log(2)
        2                2                      2

$$-4 - \frac{\sqrt{2} \log{\left(2 - \sqrt{2} \right)}}{2} + \log{\left(2 \right)} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(\sqrt{2} + 2 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{2} \pi}{2}$$

          ___     ___    /      ___\     ___    /      ___\         
     pi*\/ 2    \/ 2 *log\2 + \/ 2 /   \/ 2 *log\2 - \/ 2 /         
-4 + -------- + -------------------- - -------------------- + log(2)
        2                2                      2

$$-4 - \frac{\sqrt{2} \log{\left(2 - \sqrt{2} \right)}}{2} + \log{\left(2 \right)} + \frac{\sqrt{2} \log{\left(\sqrt{2} + 2 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{2} \pi}{2}$$

-4 + pi*sqrt(2)/2 + sqrt(2)*log(2 + sqrt(2))/2 - sqrt(2)*log(2 - sqrt(2))/2 + log(2)

Respuesta numérica [src]

(0.161039129919589 + 0.0j)

(0.161039129919589 + 0.0j)

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de log(x^8-1)-log(x^4-1) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución