Sr Examen

Integral de log(sin2x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                 
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 |                  
 |  log(sin(2*x)) dx
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0                   
01log(sin(2x))dx\int\limits_{0}^{1} \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}\, dx
Integral(log(sin(2*x)), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Usamos la integración por partes:

    udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=log(sin(2x))u{\left(x \right)} = \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)} y que dv(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

    Entonces du(x)=2cos(2x)sin(2x)\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      1dx=x\int 1\, dx = x

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    2xcos(2x)sin(2x)dx=2xcos(2x)sin(2x)dx\int \frac{2 x \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\, dx = 2 \int \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\, dx

    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

      xcos(2x)sin(2x)dx\int \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\, dx

    Por lo tanto, el resultado es: 2xcos(2x)sin(2x)dx2 \int \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\, dx

  3. Ahora simplificar:

    xlog(sin(2x))2xtan(2x)dxx \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)} - 2 \int \frac{x}{\tan{\left(2 x \right)}}\, dx

  4. Añadimos la constante de integración:

    xlog(sin(2x))2xtan(2x)dx+constantx \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)} - 2 \int \frac{x}{\tan{\left(2 x \right)}}\, dx+ \mathrm{constant}


Respuesta:

xlog(sin(2x))2xtan(2x)dx+constantx \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)} - 2 \int \frac{x}{\tan{\left(2 x \right)}}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
                              /                               
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 |                           | x*cos(2*x)                     
 | log(sin(2*x)) dx = C - 2* | ---------- dx + x*log(sin(2*x))
 |                           |  sin(2*x)                      
/                            |                                
                            /                                 
log(sin(2x))dx=C+xlog(sin(2x))2xcos(2x)sin(2x)dx\int \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}\, dx = C + x \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)} - 2 \int \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\, dx
Respuesta [src]
  1                 
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 |  log(sin(2*x)) dx
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0                   
01log(sin(2x))dx\int\limits_{0}^{1} \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}\, dx
=
=
  1                 
  /                 
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 |  log(sin(2*x)) dx
 |                  
/                   
0                   
01log(sin(2x))dx\int\limits_{0}^{1} \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}\, dx
Integral(log(sin(2*x)), (x, 0, 1))
Respuesta numérica [src]
-0.551111194452478
-0.551111194452478

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.