Integral de 1/x(1+x^2/3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

      $\int \frac{u + 3}{6 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u + 3}{u}\, du = \frac{\int \frac{u + 3}{u}\, du}{6}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u + 3}{u} = 1 + \frac{3}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{3}{u}\, du = 3 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $3 \log{\left(u \right)}$

            El resultado es: $u + 3 \log{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{6} + \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{2}}{6} + \frac{\log{\left(x^{2} \right)}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\frac{x^{2}}{3} + 1}{x} = \frac{x}{3} + \frac{1}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x}{3}\, dx = \frac{\int x\, dx}{3}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{6}$

      1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

      El resultado es: $\frac{x^{2}}{6} + \log{\left(x \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\frac{x^{2}}{3} + 1}{x} = \frac{x^{2} + 3}{3 x}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x^{2} + 3}{3 x}\, dx = \frac{\int \frac{x^{2} + 3}{x}\, dx}{3}$

      1. que $u = x^{2}$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{u + 3}{2 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u + 3}{u}\, du = \frac{\int \frac{u + 3}{u}\, du}{2}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u + 3}{u} = 1 + \frac{3}{u}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{3}{u}\, du = 3 \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $3 \log{\left(u \right)}$

               El resultado es: $u + 3 \log{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{3 \log{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{x^{2}}{2} + \frac{3 \log{\left(x^{2} \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{6} + \frac{\log{\left(x^{2} \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2}}{6} + \frac{\log{\left(x^{2} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2}}{6} + \frac{\log{\left(x^{2} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$