Integral de lnx/x(2-lnx) dx

Solución

Ha introducido [src]

  3                       
 e                        
  /                       
 |                        
 |  log(x)                
 |  ------*(2 - log(x)) dx
 |    x                   
 |                        
/                         
 4                        
e

$$\int\limits_{e^{4}}^{e^{3}} \frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(2 - \log{\left(x \right)}\right)\, dx$$

Integral((log(x)/x)*(2 - log(x)), (x, exp(4), exp(3)))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = \log{\left(x \right)}$ .
  
  Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$ :
  
  $\int \left(- u^{2} + 2 u\right)\, du$
  1. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int 2 u\, du = 2 \int u\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $u^{2}$
    El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u^{2}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $- \frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3} + \log{\left(x \right)}^{2}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(2 - \log{\left(x \right)}\right) = - \frac{\log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)}}{x}$
2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int \left(- \frac{\log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)}}{x}\right)\, dx = - \int \frac{\log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)}}{x}\, dx$
  1. que $u = \frac{1}{x}$ .
    
    Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$ :
    
    $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} - 2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} - 2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} - 2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du$
      
      que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(- u^{2} + 2 u\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int 2 u\, du = 2 \int u\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $u^{2}$
      
      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u^{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3} + \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3} - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3} - \log{\left(x \right)}^{2}$
  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3} + \log{\left(x \right)}^{2}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(2 - \log{\left(x \right)}\right) = - \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x} + \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x}\right)\, dx = - \int \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x}\, dx$
    1. que $u = \frac{1}{x}$ .
      
      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du$
      
      que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x}\, dx = 2 \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\, dx$
    1. que $u = \frac{1}{x}$ .
      
      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du$
      
      que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u\, du = - \int u\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(x \right)}^{2}$
  El resultado es: $- \frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3} + \log{\left(x \right)}^{2}$
Ahora simplificar:

$\frac{\left(3 - \log{\left(x \right)}\right) \log{\left(x \right)}^{2}}{3}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{\left(3 - \log{\left(x \right)}\right) \log{\left(x \right)}^{2}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(3 - \log{\left(x \right)}\right) \log{\left(x \right)}^{2}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                              
 |                                           3   
 | log(x)                          2      log (x)
 | ------*(2 - log(x)) dx = C + log (x) - -------
 |   x                                       3   
 |                                               
/

$$\int \frac{\log{\left(x \right)}}{x} \left(2 - \log{\left(x \right)}\right)\, dx = C - \frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3} + \log{\left(x \right)}^{2}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

16/3

$$\frac{16}{3}$$

16/3

$$\frac{16}{3}$$

16/3

Respuesta numérica [src]

5.33333333333333

5.33333333333333

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de lnx/x(2-lnx) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3