Sr Examen

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Integral de ((x+1)cos*x)/4 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
 4*pi                 
   /                  
  |                   
  |  (x + 1)*cos(x)   
  |  -------------- dx
  |        4          
  |                   
 /                    
2*pi                  
2π4π(x+1)cos(x)4dx\int\limits_{2 \pi}^{4 \pi} \frac{\left(x + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{4}\, dx
Integral(((x + 1)*cos(x))/4, (x, 2*pi, 4*pi))
Solución detallada
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    (x+1)cos(x)4dx=(x+1)cos(x)dx4\int \frac{\left(x + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \left(x + 1\right) \cos{\left(x \right)}\, dx}{4}

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (x+1)cos(x)=xcos(x)+cos(x)\left(x + 1\right) \cos{\left(x \right)} = x \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. Usamos la integración por partes:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv(x)=cos(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

          Entonces du(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del coseno es seno:

            cos(x)dx=sin(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del seno es un coseno menos:

          sin(x)dx=cos(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        1. La integral del coseno es seno:

          cos(x)dx=sin(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        El resultado es: xsin(x)+sin(x)+cos(x)x \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes:

        udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=x+1u{\left(x \right)} = x + 1 y que dv(x)=cos(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

        Entonces du(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. La integral del coseno es seno:

          cos(x)dx=sin(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del seno es un coseno menos:

        sin(x)dx=cos(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

    Por lo tanto, el resultado es: xsin(x)4+sin(x)4+cos(x)4\frac{x \sin{\left(x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{4}

  2. Ahora simplificar:

    xsin(x)4+2sin(x+π4)4\frac{x \sin{\left(x \right)}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    xsin(x)4+2sin(x+π4)4+constant\frac{x \sin{\left(x \right)}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

xsin(x)4+2sin(x+π4)4+constant\frac{x \sin{\left(x \right)}}{4} + \frac{\sqrt{2} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                  
 |                                                   
 | (x + 1)*cos(x)          cos(x)   sin(x)   x*sin(x)
 | -------------- dx = C + ------ + ------ + --------
 |       4                   4        4         4    
 |                                                   
/                                                    
(x+1)cos(x)4dx=C+xsin(x)4+sin(x)4+cos(x)4\int \frac{\left(x + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{4}\, dx = C + \frac{x \sin{\left(x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{4}
Gráfica
6.57.07.58.08.59.09.510.010.511.011.512.012.55-5
Respuesta [src]
0
00
=
=
0
00
0
Respuesta numérica [src]
-1.21665069061698e-15
-1.21665069061698e-15

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.