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Resolución de integrales/ log(y)/ -log(y)^2/(9*y^2)

Integral de -log(y)^2/(9*y^2) dy

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1             
  /             
 |              
 |      2       
 |  -log (y)    
 |  --------- dy
 |        2     
 |     9*y      
 |              
/               
0
∫01(−1)log⁡(y)29y2 dy\int\limits_{0}^{1} \frac{\left(-1\right) \log{\left(y \right)}^{2}}{9 y^{2}}\, dy 
Integral((-log(y)^2)/((9*y^2)), (y, 0, 1))
Solución detallada

  1. que u=log⁡(y)u = \log{\left(y \right)}.

    Luego que du=dyydu = \frac{dy}{y} y ponemos −du9- \frac{du}{9}:

    ∫(−u2e−u9) du\int \left(- \frac{u^{2} e^{- u}}{9}\right)\, du

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫u2e−u du=−∫u2e−u du9\int u^{2} e^{- u}\, du = - \frac{\int u^{2} e^{- u}\, du}{9}

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=−uu = - u.

          Luego que du=−dudu = - du y ponemos −du- du:

          ∫(−u2eu) du\int \left(- u^{2} e^{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2eu du=−∫u2eu du\int u^{2} e^{u}\, du = - \int u^{2} e^{u}\, du

            1. Usamos la integración por partes:

              ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

              que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

              Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

              Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Ahora resolvemos podintegral.

            2. Usamos la integración por partes:

              ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

              que u(u)=2uu{\left(u \right)} = 2 u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

              Entonces du⁡(u)=2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2.

              Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Ahora resolvemos podintegral.

            3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫2eu du=2∫eu du\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −u2eu+2ueu−2eu- u^{2} e^{u} + 2 u e^{u} - 2 e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −u2e−u−2ue−u−2e−u- u^{2} e^{- u} - 2 u e^{- u} - 2 e^{- u}

        Método #2

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=e−u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- u}.

          Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=−uu = - u.

            Luego que du=−dudu = - du y ponemos −du- du:

            ∫(−eu) du\int \left(- e^{u}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −eu- e^{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −e−u- e^{- u}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=−2uu{\left(u \right)} = - 2 u y que dv⁡(u)=e−u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- u}.

          Entonces du⁡(u)=−2\operatorname{du}{\left(u \right)} = -2.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=−uu = - u.

            Luego que du=−dudu = - du y ponemos −du- du:

            ∫(−eu) du\int \left(- e^{u}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −eu- e^{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −e−u- e^{- u}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2e−u du=2∫e−u du\int 2 e^{- u}\, du = 2 \int e^{- u}\, du

          1. que u=−uu = - u.

            Luego que du=−dudu = - du y ponemos −du- du:

            ∫(−eu) du\int \left(- e^{u}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −eu- e^{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −e−u- e^{- u}

          Por lo tanto, el resultado es: −2e−u- 2 e^{- u}

      Por lo tanto, el resultado es: u2e−u9+2ue−u9+2e−u9\frac{u^{2} e^{- u}}{9} + \frac{2 u e^{- u}}{9} + \frac{2 e^{- u}}{9}

    Si ahora sustituir uu más en:

    log⁡(y)29y+2log⁡(y)9y+29y\frac{\log{\left(y \right)}^{2}}{9 y} + \frac{2 \log{\left(y \right)}}{9 y} + \frac{2}{9 y}

  2. Ahora simplificar:

    log⁡(y)2+2log⁡(y)+29y\frac{\log{\left(y \right)}^{2} + 2 \log{\left(y \right)} + 2}{9 y}

  3. Añadimos la constante de integración:

    log⁡(y)2+2log⁡(y)+29y+constant\frac{\log{\left(y \right)}^{2} + 2 \log{\left(y \right)} + 2}{9 y}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

log⁡(y)2+2log⁡(y)+29y+constant\frac{\log{\left(y \right)}^{2} + 2 \log{\left(y \right)} + 2}{9 y}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                           
 |                                            
 |     2                       2              
 | -log (y)            2    log (y)   2*log(y)
 | --------- dy = C + --- + ------- + --------
 |       2            9*y     9*y       9*y   
 |    9*y                                     
 |                                            
/
∫(−1)log⁡(y)29y2 dy=C+log⁡(y)29y+2log⁡(y)9y+29y\int \frac{\left(-1\right) \log{\left(y \right)}^{2}}{9 y^{2}}\, dy = C + \frac{\log{\left(y \right)}^{2}}{9 y} + \frac{2 \log{\left(y \right)}}{9 y} + \frac{2}{9 y}
Simplificar
Respuesta [src] 
-oo
−∞-\infty 
=
= 
-oo
−∞-\infty 
-oo
Respuesta numérica [src] 
-2.84196393048581e+21
-2.84196393048581e+21

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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