Integral de (2-x)/(x-6) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u}{u + 4}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u}{u + 4} = 1 - \frac{4}{u + 4}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{4}{u + 4}\right)\, du = - 4 \int \frac{1}{u + 4}\, du$

            1. que $u = u + 4$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u + 4 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \log{\left(u + 4 \right)}$

         El resultado es: $u - 4 \log{\left(u + 4 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- x - 4 \log{\left(6 - x \right)} + 2$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 - x}{x - 6} = -1 - \frac{4}{x - 6}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{4}{x - 6}\right)\, dx = - 4 \int \frac{1}{x - 6}\, dx$

         1. que $u = x - 6$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 6 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \log{\left(x - 6 \right)}$

      El resultado es: $- x - 4 \log{\left(x - 6 \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 - x}{x - 6} = - \frac{x - 2}{x - 6}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x - 2}{x - 6}\right)\, dx = - \int \frac{x - 2}{x - 6}\, dx$

      1. que $u = x - 6$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u + 4}{u}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u + 4}{u} = 1 + \frac{4}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{4}{u}\, du = 4 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $4 \log{\left(u \right)}$

            El resultado es: $u + 4 \log{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $x + 4 \log{\left(x - 6 \right)} - 6$

      Por lo tanto, el resultado es: $- x - 4 \log{\left(x - 6 \right)} + 6$

   Método #4

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 - x}{x - 6} = - \frac{x}{x - 6} + \frac{2}{x - 6}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x}{x - 6}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x - 6}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{x - 6} = 1 + \frac{6}{x - 6}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{6}{x - 6}\, dx = 6 \int \frac{1}{x - 6}\, dx$

               1. que $u = x - 6$.

                  Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(x - 6 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $6 \log{\left(x - 6 \right)}$

            El resultado es: $x + 6 \log{\left(x - 6 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- x - 6 \log{\left(x - 6 \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2}{x - 6}\, dx = 2 \int \frac{1}{x - 6}\, dx$

         1. que $u = x - 6$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 6 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(x - 6 \right)}$

      El resultado es: $- x - 6 \log{\left(x - 6 \right)} + 2 \log{\left(x - 6 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- x - 4 \log{\left(6 - x \right)} + 2+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- x - 4 \log{\left(6 - x \right)} + 2+ \mathrm{constant}$