Integral de e^(4*sin(x)-3)*cos(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 4 \sin{\left(x \right)} - 3$.

      Luego que $du = 4 \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{e^{4 \sin{\left(x \right)} - 3}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{4 \sin{\left(x \right)} - 3} \cos{\left(x \right)} = \frac{e^{4 \sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}}{e^{3}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{e^{4 \sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}}{e^{3}}\, dx = \frac{\int e^{4 \sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx}{e^{3}}$

      1. que $u = 4 \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = 4 \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{4 \sin{\left(x \right)}}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{4 \sin{\left(x \right)}}}{4 e^{3}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{4 \sin{\left(x \right)} - 3} \cos{\left(x \right)} = \frac{e^{4 \sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}}{e^{3}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{e^{4 \sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}}{e^{3}}\, dx = \frac{\int e^{4 \sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}\, dx}{e^{3}}$

      1. que $u = 4 \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = 4 \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{4 \sin{\left(x \right)}}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{4 \sin{\left(x \right)}}}{4 e^{3}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{e^{4 \sin{\left(x \right)} - 3}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{e^{4 \sin{\left(x \right)} - 3}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{e^{4 \sin{\left(x \right)} - 3}}{4}+ \mathrm{constant}$