Integral de sin^5x/cos^2x dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} = \frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{2}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{2}}\, du = - \int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{2}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{2}} = u^{2} - 2 + \frac{1}{u^{2}}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(-2\right)\, du = - 2 u$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} - 2 u - \frac{1}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + 2 u + \frac{1}{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + 2 \cos{\left(x \right)} + \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} = \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   2. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{2}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{2}}\, du = - \int \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{2}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{2}} = u^{2} - 2 + \frac{1}{u^{2}}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(-2\right)\, du = - 2 u$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} - 2 u - \frac{1}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + 2 u + \frac{1}{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + 2 \cos{\left(x \right)} + \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} = \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \cos{\left(x \right)}$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{1}{\cos{\left(x \right)}}$

      El resultado es: $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} + 2 \cos{\left(x \right)} + \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 5\right) \cos^{2}{\left(x \right)} + 3}{3 \cos{\left(x \right)}}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 5\right) \cos^{2}{\left(x \right)} + 3}{3 \cos{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 5\right) \cos^{2}{\left(x \right)} + 3}{3 \cos{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$