Integral de (x+3)/(cbrt(x)/(3*x+2)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x + 3}{\sqrt[3]{x} \frac{1}{3 x + 2}} = \frac{3 x^{2} + 11 x + 6}{\sqrt[3]{x}}$

   2. que $u = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{18 u^{6} + 33 u^{3} + 9}{u^{9}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{18 u^{6} + 33 u^{3} + 9}{u^{9}}\, du = - \int \frac{18 u^{6} + 33 u^{3} + 9}{u^{9}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{18 u^{6} + 33 u^{3} + 9}{u^{9}} = \frac{18}{u^{3}} + \frac{33}{u^{6}} + \frac{9}{u^{9}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{18}{u^{3}}\, du = 18 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9}{u^{2}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{33}{u^{6}}\, du = 33 \int \frac{1}{u^{6}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{33}{5 u^{5}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{9}{u^{9}}\, du = 9 \int \frac{1}{u^{9}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{9}}\, du = - \frac{1}{8 u^{8}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9}{8 u^{8}}$

            El resultado es: $- \frac{9}{u^{2}} - \frac{33}{5 u^{5}} - \frac{9}{8 u^{8}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9}{u^{2}} + \frac{33}{5 u^{5}} + \frac{9}{8 u^{8}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{9 x^{\frac{8}{3}}}{8} + \frac{33 x^{\frac{5}{3}}}{5} + 9 x^{\frac{2}{3}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x + 3}{\sqrt[3]{x} \frac{1}{3 x + 2}} = 3 x^{\frac{5}{3}} + 11 x^{\frac{2}{3}} + \frac{6}{\sqrt[3]{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x^{\frac{5}{3}}\, dx = 3 \int x^{\frac{5}{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{5}{3}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 x^{\frac{8}{3}}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 11 x^{\frac{2}{3}}\, dx = 11 \int x^{\frac{2}{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{2}{3}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{33 x^{\frac{5}{3}}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{6}{\sqrt[3]{x}}\, dx = 6 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $9 x^{\frac{2}{3}}$

      El resultado es: $\frac{9 x^{\frac{8}{3}}}{8} + \frac{33 x^{\frac{5}{3}}}{5} + 9 x^{\frac{2}{3}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \left(15 x^{2} + 88 x + 120\right)}{40}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \left(15 x^{2} + 88 x + 120\right)}{40}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \left(15 x^{2} + 88 x + 120\right)}{40}+ \mathrm{constant}$