Sr Examen

Otras calculadoras

Resolución de integrales/ log(2*x)/((log(4*x)*x))

Integral de log(2*x)/((log(4*x)*x)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1              
  /              
 |               
 |   log(2*x)    
 |  ---------- dx
 |  log(4*x)*x   
 |               
/                
0
∫01log⁡(2x)xlog⁡(4x) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\log{\left(2 x \right)}}{x \log{\left(4 x \right)}}\, dx 
Integral(log(2*x)/((log(4*x)*x)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      log⁡(2x)xlog⁡(4x)=log⁡(x)+log⁡(2)xlog⁡(x)+2xlog⁡(2)\frac{\log{\left(2 x \right)}}{x \log{\left(4 x \right)}} = \frac{\log{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)}}{x \log{\left(x \right)} + 2 x \log{\left(2 \right)}}

    2. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫u+log⁡(2)u+2log⁡(2) du\int \frac{u + \log{\left(2 \right)}}{u + 2 \log{\left(2 \right)}}\, du

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        u+log⁡(2)u+2log⁡(2)=1−log⁡(2)u+2log⁡(2)\frac{u + \log{\left(2 \right)}}{u + 2 \log{\left(2 \right)}} = 1 - \frac{\log{\left(2 \right)}}{u + 2 \log{\left(2 \right)}}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 du=u\int 1\, du = u

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−log⁡(2)u+2log⁡(2)) du=−log⁡(2)∫1u+2log⁡(2) du\int \left(- \frac{\log{\left(2 \right)}}{u + 2 \log{\left(2 \right)}}\right)\, du = - \log{\left(2 \right)} \int \frac{1}{u + 2 \log{\left(2 \right)}}\, du

          1. que u=u+2log⁡(2)u = u + 2 \log{\left(2 \right)}.

            Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(u+2log⁡(2))\log{\left(u + 2 \log{\left(2 \right)} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(2)log⁡(u+2log⁡(2))- \log{\left(2 \right)} \log{\left(u + 2 \log{\left(2 \right)} \right)}

        El resultado es: u−log⁡(2)log⁡(u+2log⁡(2))u - \log{\left(2 \right)} \log{\left(u + 2 \log{\left(2 \right)} \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log⁡(x)−log⁡(2)log⁡(log⁡(x)+2log⁡(2))\log{\left(x \right)} - \log{\left(2 \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(2x)u{\left(x \right)} = \log{\left(2 x \right)} y que dv⁡(x)=1xlog⁡(4x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{x \log{\left(4 x \right)}}.

      Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=log⁡(4x)u = \log{\left(4 x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(log⁡(4x))\log{\left(\log{\left(4 x \right)} \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

      ∫(−log⁡(log⁡(1u)+2log⁡(2))u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} \right)}}{u}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫log⁡(log⁡(1u)+2log⁡(2))u du=−∫log⁡(log⁡(1u)+2log⁡(2))u du\int \frac{\log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} \right)}}{u}\, du

        1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

          Luego que du=−duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos −du- du:

          ∫(−log⁡(log⁡(u)+2log⁡(2))u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} \right)}}{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫log⁡(log⁡(u)+2log⁡(2))u du=−∫log⁡(log⁡(u)+2log⁡(2))u du\int \frac{\log{\left(\log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} \right)}}{u}\, du

            1. que u=log⁡(log⁡(u)+2log⁡(2))u = \log{\left(\log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} \right)}.

              Luego que du=duu(log⁡(u)+2log⁡(2))du = \frac{du}{u \left(\log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}\right)} y ponemos dudu:

              ∫ueu du\int u e^{u}\, du

              1. Usamos la integración por partes:

                ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

                que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

                Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

                Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Ahora resolvemos podintegral.

              2. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Si ahora sustituir uu más en:

              (log⁡(u)+2log⁡(2))log⁡(log⁡(u)+2log⁡(2))−log⁡(u)−2log⁡(2)\left(\log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(\log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} \right)} - \log{\left(u \right)} - 2 \log{\left(2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −(log⁡(u)+2log⁡(2))log⁡(log⁡(u)+2log⁡(2))+log⁡(u)+2log⁡(2)- \left(\log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(\log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} \right)} + \log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −(−log⁡(u)+2log⁡(2))log⁡(−log⁡(u)+2log⁡(2))−log⁡(u)+2log⁡(2)- \left(- \log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(- \log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} \right)} - \log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: (−log⁡(u)+2log⁡(2))log⁡(−log⁡(u)+2log⁡(2))+log⁡(u)−2log⁡(2)\left(- \log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(- \log{\left(u \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} \right)} + \log{\left(u \right)} - 2 \log{\left(2 \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      (log⁡(x)+2log⁡(2))log⁡(log⁡(x)+2log⁡(2))−log⁡(x)−2log⁡(2)\left(\log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(\log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} \right)} - \log{\left(x \right)} - 2 \log{\left(2 \right)}

  2. Ahora simplificar:

    log⁡(x)−log⁡(2)log⁡(log⁡(4x))\log{\left(x \right)} - \log{\left(2 \right)} \log{\left(\log{\left(4 x \right)} \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    log⁡(x)−log⁡(2)log⁡(log⁡(4x))+constant\log{\left(x \right)} - \log{\left(2 \right)} \log{\left(\log{\left(4 x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

log⁡(x)−log⁡(2)log⁡(log⁡(4x))+constant\log{\left(x \right)} - \log{\left(2 \right)} \log{\left(\log{\left(4 x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                          
 |                                                           
 |  log(2*x)                                                 
 | ---------- dx = C - log(2)*log(2*log(2) + log(x)) + log(x)
 | log(4*x)*x                                                
 |                                                           
/
∫log⁡(2x)xlog⁡(4x) dx=C+log⁡(x)−log⁡(2)log⁡(log⁡(x)+2log⁡(2))\int \frac{\log{\left(2 x \right)}}{x \log{\left(4 x \right)}}\, dx = C + \log{\left(x \right)} - \log{\left(2 \right)} \log{\left(\log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-5000050000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
nan
NaN\text{NaN} 
=
= 
nan
NaN\text{NaN} 
nan
Respuesta numérica [src] 
59.6786882263115
59.6786882263115

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

    © Sr Examen – Калькулятор