Integral de (4x)/(1+sqrt(3x+1)) dx

1. que $u = \sqrt{3 x + 1}$.

   Luego que $du = \frac{3 dx}{2 \sqrt{3 x + 1}}$ y ponemos $8 du$:

   $\int \frac{8 u \left(\frac{u^{2}}{3} - \frac{1}{3}\right)}{3 u + 3}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{u \left(\frac{u^{2}}{3} - \frac{1}{3}\right)}{3 u + 3}\, du = 8 \int \frac{u \left(\frac{u^{2}}{3} - \frac{1}{3}\right)}{3 u + 3}\, du$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u \left(\frac{u^{2}}{3} - \frac{1}{3}\right)}{3 u + 3} = \frac{u^{2}}{9} - \frac{u}{9}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u^{2}}{9}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{9}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{27}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{u}{9}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{9}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{18}$

            El resultado es: $\frac{u^{3}}{27} - \frac{u^{2}}{18}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u \left(\frac{u^{2}}{3} - \frac{1}{3}\right)}{3 u + 3} = \frac{u^{3}}{3 \left(3 u + 3\right)} - \frac{u}{3 \left(3 u + 3\right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u^{3}}{3 \left(3 u + 3\right)}\, du = \frac{\int \frac{u^{3}}{3 u + 3}\, du}{3}$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{u^{3}}{3 u + 3} = \frac{u^{2}}{3} - \frac{u}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 \left(u + 1\right)}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{u^{2}}{3}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{3}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{9}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{u}{3}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{3}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{6}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{3}\, du = \frac{u}{3}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{1}{3 \left(u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{3}$

                     1. que $u = u + 1$.

                        Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                        $\int \frac{1}{u}\, du$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\log{\left(u + 1 \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{3}$

                  El resultado es: $\frac{u^{3}}{9} - \frac{u^{2}}{6} + \frac{u}{3} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{27} - \frac{u^{2}}{18} + \frac{u}{9} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{9}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{u}{3 \left(3 u + 3\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{u}{3 u + 3}\, du}{3}$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{u}{3 u + 3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3 \left(u + 1\right)}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{3}\, du = \frac{u}{3}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{1}{3 \left(u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{3}$

                     1. que $u = u + 1$.

                        Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                        $\int \frac{1}{u}\, du$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\log{\left(u + 1 \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{3}$

                  El resultado es: $\frac{u}{3} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{9} + \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{9}$

            El resultado es: $\frac{u^{3}}{27} - \frac{u^{2}}{18}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 u^{3}}{27} - \frac{4 u^{2}}{9}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- \frac{4 x}{3} + \frac{8 \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{27} - \frac{4}{9}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{4 x}{3} + \frac{8 \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{27} - \frac{4}{9}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{4 x}{3} + \frac{8 \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{27} - \frac{4}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{4 x}{3} + \frac{8 \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{27} - \frac{4}{9}+ \mathrm{constant}$