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Resolución de integrales/ 5*x+2/ (5*x+2)*sin(4*x+2)

Integral de (5*x+2)*sin(4*x+2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                          
  /                          
 |                           
 |  (5*x + 2)*sin(4*x + 2) dx
 |                           
/                            
0
∫01(5x+2)sin⁡(4x+2) dx\int\limits_{0}^{1} \left(5 x + 2\right) \sin{\left(4 x + 2 \right)}\, dx 
Integral((5*x + 2)*sin(4*x + 2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (5x+2)sin⁡(4x+2)=5xsin⁡(4x+2)+2sin⁡(4x+2)\left(5 x + 2\right) \sin{\left(4 x + 2 \right)} = 5 x \sin{\left(4 x + 2 \right)} + 2 \sin{\left(4 x + 2 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5xsin⁡(4x+2) dx=5∫xsin⁡(4x+2) dx\int 5 x \sin{\left(4 x + 2 \right)}\, dx = 5 \int x \sin{\left(4 x + 2 \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(4x+2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x + 2 \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=4x+2u = 4 x + 2.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(4x+2)4- \frac{\cos{\left(4 x + 2 \right)}}{4}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(4x+2)4) dx=−∫cos⁡(4x+2) dx4\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x + 2 \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x + 2 \right)}\, dx}{4}

          1. que u=4x+2u = 4 x + 2.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(4x+2)4\frac{\sin{\left(4 x + 2 \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(4x+2)16- \frac{\sin{\left(4 x + 2 \right)}}{16}

        Por lo tanto, el resultado es: −5xcos⁡(4x+2)4+5sin⁡(4x+2)16- \frac{5 x \cos{\left(4 x + 2 \right)}}{4} + \frac{5 \sin{\left(4 x + 2 \right)}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2sin⁡(4x+2) dx=2∫sin⁡(4x+2) dx\int 2 \sin{\left(4 x + 2 \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(4 x + 2 \right)}\, dx

        1. que u=4x+2u = 4 x + 2.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(4x+2)4- \frac{\cos{\left(4 x + 2 \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(4x+2)2- \frac{\cos{\left(4 x + 2 \right)}}{2}

      El resultado es: −5xcos⁡(4x+2)4+5sin⁡(4x+2)16−cos⁡(4x+2)2- \frac{5 x \cos{\left(4 x + 2 \right)}}{4} + \frac{5 \sin{\left(4 x + 2 \right)}}{16} - \frac{\cos{\left(4 x + 2 \right)}}{2}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=5x+2u{\left(x \right)} = 5 x + 2 y que dv⁡(x)=sin⁡(4x+2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x + 2 \right)}.

      Entonces du⁡(x)=5\operatorname{du}{\left(x \right)} = 5.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=4x+2u = 4 x + 2.

        Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

        ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(4x+2)4- \frac{\cos{\left(4 x + 2 \right)}}{4}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−5cos⁡(4x+2)4) dx=−5∫cos⁡(4x+2) dx4\int \left(- \frac{5 \cos{\left(4 x + 2 \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{5 \int \cos{\left(4 x + 2 \right)}\, dx}{4}

      1. que u=4x+2u = 4 x + 2.

        Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

        ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(4x+2)4\frac{\sin{\left(4 x + 2 \right)}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: −5sin⁡(4x+2)16- \frac{5 \sin{\left(4 x + 2 \right)}}{16}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (5x+2)sin⁡(4x+2)=5xsin⁡(4x+2)+2sin⁡(4x+2)\left(5 x + 2\right) \sin{\left(4 x + 2 \right)} = 5 x \sin{\left(4 x + 2 \right)} + 2 \sin{\left(4 x + 2 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5xsin⁡(4x+2) dx=5∫xsin⁡(4x+2) dx\int 5 x \sin{\left(4 x + 2 \right)}\, dx = 5 \int x \sin{\left(4 x + 2 \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(4x+2)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x + 2 \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=4x+2u = 4 x + 2.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(4x+2)4- \frac{\cos{\left(4 x + 2 \right)}}{4}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(4x+2)4) dx=−∫cos⁡(4x+2) dx4\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x + 2 \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(4 x + 2 \right)}\, dx}{4}

          1. que u=4x+2u = 4 x + 2.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(4x+2)4\frac{\sin{\left(4 x + 2 \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(4x+2)16- \frac{\sin{\left(4 x + 2 \right)}}{16}

        Por lo tanto, el resultado es: −5xcos⁡(4x+2)4+5sin⁡(4x+2)16- \frac{5 x \cos{\left(4 x + 2 \right)}}{4} + \frac{5 \sin{\left(4 x + 2 \right)}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2sin⁡(4x+2) dx=2∫sin⁡(4x+2) dx\int 2 \sin{\left(4 x + 2 \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(4 x + 2 \right)}\, dx

        1. que u=4x+2u = 4 x + 2.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫sin⁡(u)4 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du4\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{4}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)4- \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(4x+2)4- \frac{\cos{\left(4 x + 2 \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(4x+2)2- \frac{\cos{\left(4 x + 2 \right)}}{2}

      El resultado es: −5xcos⁡(4x+2)4+5sin⁡(4x+2)16−cos⁡(4x+2)2- \frac{5 x \cos{\left(4 x + 2 \right)}}{4} + \frac{5 \sin{\left(4 x + 2 \right)}}{16} - \frac{\cos{\left(4 x + 2 \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −5xcos⁡(4x+2)4+5sin⁡(4x+2)16−cos⁡(4x+2)2+constant- \frac{5 x \cos{\left(4 x + 2 \right)}}{4} + \frac{5 \sin{\left(4 x + 2 \right)}}{16} - \frac{\cos{\left(4 x + 2 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−5xcos⁡(4x+2)4+5sin⁡(4x+2)16−cos⁡(4x+2)2+constant- \frac{5 x \cos{\left(4 x + 2 \right)}}{4} + \frac{5 \sin{\left(4 x + 2 \right)}}{16} - \frac{\cos{\left(4 x + 2 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                
 |                                 cos(2 + 4*x)   5*sin(2 + 4*x)   5*x*cos(2 + 4*x)
 | (5*x + 2)*sin(4*x + 2) dx = C - ------------ + -------------- - ----------------
 |                                      2               16                4        
/
∫(5x+2)sin⁡(4x+2) dx=C−5xcos⁡(4x+2)4+5sin⁡(4x+2)16−cos⁡(4x+2)2\int \left(5 x + 2\right) \sin{\left(4 x + 2 \right)}\, dx = C - \frac{5 x \cos{\left(4 x + 2 \right)}}{4} + \frac{5 \sin{\left(4 x + 2 \right)}}{16} - \frac{\cos{\left(4 x + 2 \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
cos(2)   7*cos(6)   5*sin(2)   5*sin(6)
------ - -------- - -------- + --------
  2         4          16         16
−7cos⁡(6)4−5sin⁡(2)16+cos⁡(2)2+5sin⁡(6)16- \frac{7 \cos{\left(6 \right)}}{4} - \frac{5 \sin{\left(2 \right)}}{16} + \frac{\cos{\left(2 \right)}}{2} + \frac{5 \sin{\left(6 \right)}}{16} 
=
= 
cos(2)   7*cos(6)   5*sin(2)   5*sin(6)
------ - -------- - -------- + --------
  2         4          16         16
−7cos⁡(6)4−5sin⁡(2)16+cos⁡(2)2+5sin⁡(6)16- \frac{7 \cos{\left(6 \right)}}{4} - \frac{5 \sin{\left(2 \right)}}{16} + \frac{\cos{\left(2 \right)}}{2} + \frac{5 \sin{\left(6 \right)}}{16} 
cos(2)/2 - 7*cos(6)/4 - 5*sin(2)/16 + 5*sin(6)/16
Respuesta numérica [src] 
-2.2598442089819
-2.2598442089819

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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