Integral de (1-4*x)^(1/3)*ln(1-4*x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[3]{1 - 4 x}$.

      Luego que $du = - \frac{4 dx}{3 \left(1 - 4 x\right)^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(3 \left(\frac{1}{4} - \frac{u^{3}}{4}\right) \log{\left(u^{3} \right)} - \frac{3 \log{\left(u^{3} \right)}}{4}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 \left(\frac{1}{4} - \frac{u^{3}}{4}\right) \log{\left(u^{3} \right)}\, du = 3 \int \left(\frac{1}{4} - \frac{u^{3}}{4}\right) \log{\left(u^{3} \right)}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\left(\frac{1}{4} - \frac{u^{3}}{4}\right) \log{\left(u^{3} \right)} = - \frac{u^{3} \log{\left(u^{3} \right)}}{4} + \frac{\log{\left(u^{3} \right)}}{4}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{u^{3} \log{\left(u^{3} \right)}}{4}\right)\, du = - \frac{\int u^{3} \log{\left(u^{3} \right)}\, du}{4}$

                  1. Usamos la integración por partes:

                     $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                     que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u^{3} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = u^{3}$.

                     Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{3}{u}$.

                     Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                     Ahora resolvemos podintegral.

                  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{3 u^{3}}{4}\, du = \frac{3 \int u^{3}\, du}{4}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{4}}{16}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4} \log{\left(u^{3} \right)}}{16} + \frac{3 u^{4}}{64}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\log{\left(u^{3} \right)}}{4}\, du = \frac{\int \log{\left(u^{3} \right)}\, du}{4}$

                  1. Usamos la integración por partes:

                     $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                     que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u^{3} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

                     Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{3}{u}$.

                     Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int 1\, du = u$

                     Ahora resolvemos podintegral.

                  2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 3\, du = 3 u$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u \log{\left(u^{3} \right)}}{4} - \frac{3 u}{4}$

               El resultado es: $- \frac{u^{4} \log{\left(u^{3} \right)}}{16} + \frac{3 u^{4}}{64} + \frac{u \log{\left(u^{3} \right)}}{4} - \frac{3 u}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{4} \log{\left(u^{3} \right)}}{16} + \frac{9 u^{4}}{64} + \frac{3 u \log{\left(u^{3} \right)}}{4} - \frac{9 u}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{3 \log{\left(u^{3} \right)}}{4}\right)\, du = - \frac{3 \int \log{\left(u^{3} \right)}\, du}{4}$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u^{3} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{3}{u}$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 3\, du = 3 u$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u \log{\left(u^{3} \right)}}{4} + \frac{9 u}{4}$

         El resultado es: $- \frac{3 u^{4} \log{\left(u^{3} \right)}}{16} + \frac{9 u^{4}}{64}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{3 \left(1 - 4 x\right)^{\frac{4}{3}} \log{\left(1 - 4 x \right)}}{16} + \frac{9 \left(1 - 4 x\right)^{\frac{4}{3}}}{64}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(1 - 4 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sqrt[3]{1 - 4 x}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{4}{1 - 4 x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = 1 - 4 x$.

         Luego que $du = - 4 dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

         $\int \left(- \frac{\sqrt[3]{u}}{4}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sqrt[3]{u}\, du = - \frac{\int \sqrt[3]{u}\, du}{4}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt[3]{u}\, du = \frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{16}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{3 \left(1 - 4 x\right)^{\frac{4}{3}}}{16}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{3 \sqrt[3]{1 - 4 x}}{4}\, dx = \frac{3 \int \sqrt[3]{1 - 4 x}\, dx}{4}$

      1. que $u = 1 - 4 x$.

         Luego que $du = - 4 dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

         $\int \left(- \frac{\sqrt[3]{u}}{4}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sqrt[3]{u}\, du = - \frac{\int \sqrt[3]{u}\, du}{4}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt[3]{u}\, du = \frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{16}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{3 \left(1 - 4 x\right)^{\frac{4}{3}}}{16}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9 \left(1 - 4 x\right)^{\frac{4}{3}}}{64}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 \left(1 - 4 x\right)^{\frac{4}{3}} \left(3 - 4 \log{\left(1 - 4 x \right)}\right)}{64}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 \left(1 - 4 x\right)^{\frac{4}{3}} \left(3 - 4 \log{\left(1 - 4 x \right)}\right)}{64}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 \left(1 - 4 x\right)^{\frac{4}{3}} \left(3 - 4 \log{\left(1 - 4 x \right)}\right)}{64}+ \mathrm{constant}$