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Resolución de integrales/ (3x+4)/ (3x+4)*exp(6x)

Integral de (3x+4)*exp(6x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                  
  /                  
 |                   
 |             6*x   
 |  (3*x + 4)*e    dx
 |                   
/                    
0
∫01(3x+4)e6x dx\int\limits_{0}^{1} \left(3 x + 4\right) e^{6 x}\, dx 
Integral((3*x + 4)*exp(6*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=3xu = 3 x.

      Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos dudu:

      ∫(ue2u3+4e2u3) du\int \left(\frac{u e^{2 u}}{3} + \frac{4 e^{2 u}}{3}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫ue2u3 du=∫ue2u du3\int \frac{u e^{2 u}}{3}\, du = \frac{\int u e^{2 u}\, du}{3}

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: ue2u6−e2u12\frac{u e^{2 u}}{6} - \frac{e^{2 u}}{12}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫4e2u3 du=4∫e2u du3\int \frac{4 e^{2 u}}{3}\, du = \frac{4 \int e^{2 u}\, du}{3}

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 2e2u3\frac{2 e^{2 u}}{3}

        El resultado es: ue2u6+7e2u12\frac{u e^{2 u}}{6} + \frac{7 e^{2 u}}{12}

      Si ahora sustituir uu más en:

      xe6x2+7e6x12\frac{x e^{6 x}}{2} + \frac{7 e^{6 x}}{12}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3x+4)e6x=3xe6x+4e6x\left(3 x + 4\right) e^{6 x} = 3 x e^{6 x} + 4 e^{6 x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xe6x dx=3∫xe6x dx\int 3 x e^{6 x}\, dx = 3 \int x e^{6 x}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=e6x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{6 x}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=6xu = 6 x.

            Luego que du=6dxdu = 6 dx y ponemos du6\frac{du}{6}:

            ∫eu6 du\int \frac{e^{u}}{6}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu6\frac{e^{u}}{6}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e6x6\frac{e^{6 x}}{6}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e6x6 dx=∫e6x dx6\int \frac{e^{6 x}}{6}\, dx = \frac{\int e^{6 x}\, dx}{6}

          1. que u=6xu = 6 x.

            Luego que du=6dxdu = 6 dx y ponemos du6\frac{du}{6}:

            ∫eu6 du\int \frac{e^{u}}{6}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu6\frac{e^{u}}{6}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e6x6\frac{e^{6 x}}{6}

          Por lo tanto, el resultado es: e6x36\frac{e^{6 x}}{36}

        Por lo tanto, el resultado es: xe6x2−e6x12\frac{x e^{6 x}}{2} - \frac{e^{6 x}}{12}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4e6x dx=4∫e6x dx\int 4 e^{6 x}\, dx = 4 \int e^{6 x}\, dx

        1. que u=6xu = 6 x.

          Luego que du=6dxdu = 6 dx y ponemos du6\frac{du}{6}:

          ∫eu6 du\int \frac{e^{u}}{6}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu6\frac{e^{u}}{6}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e6x6\frac{e^{6 x}}{6}

        Por lo tanto, el resultado es: 2e6x3\frac{2 e^{6 x}}{3}

      El resultado es: xe6x2+7e6x12\frac{x e^{6 x}}{2} + \frac{7 e^{6 x}}{12}

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=3x+4u{\left(x \right)} = 3 x + 4 y que dv⁡(x)=e6x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{6 x}.

      Entonces du⁡(x)=3\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=6xu = 6 x.

        Luego que du=6dxdu = 6 dx y ponemos du6\frac{du}{6}:

        ∫eu6 du\int \frac{e^{u}}{6}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: eu6\frac{e^{u}}{6}

        Si ahora sustituir uu más en:

        e6x6\frac{e^{6 x}}{6}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫e6x2 dx=∫e6x dx2\int \frac{e^{6 x}}{2}\, dx = \frac{\int e^{6 x}\, dx}{2}

      1. que u=6xu = 6 x.

        Luego que du=6dxdu = 6 dx y ponemos du6\frac{du}{6}:

        ∫eu6 du\int \frac{e^{u}}{6}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: eu6\frac{e^{u}}{6}

        Si ahora sustituir uu más en:

        e6x6\frac{e^{6 x}}{6}

      Por lo tanto, el resultado es: e6x12\frac{e^{6 x}}{12}

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3x+4)e6x=3xe6x+4e6x\left(3 x + 4\right) e^{6 x} = 3 x e^{6 x} + 4 e^{6 x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xe6x dx=3∫xe6x dx\int 3 x e^{6 x}\, dx = 3 \int x e^{6 x}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=e6x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{6 x}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=6xu = 6 x.

            Luego que du=6dxdu = 6 dx y ponemos du6\frac{du}{6}:

            ∫eu6 du\int \frac{e^{u}}{6}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu6\frac{e^{u}}{6}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e6x6\frac{e^{6 x}}{6}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e6x6 dx=∫e6x dx6\int \frac{e^{6 x}}{6}\, dx = \frac{\int e^{6 x}\, dx}{6}

          1. que u=6xu = 6 x.

            Luego que du=6dxdu = 6 dx y ponemos du6\frac{du}{6}:

            ∫eu6 du\int \frac{e^{u}}{6}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu6\frac{e^{u}}{6}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e6x6\frac{e^{6 x}}{6}

          Por lo tanto, el resultado es: e6x36\frac{e^{6 x}}{36}

        Por lo tanto, el resultado es: xe6x2−e6x12\frac{x e^{6 x}}{2} - \frac{e^{6 x}}{12}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4e6x dx=4∫e6x dx\int 4 e^{6 x}\, dx = 4 \int e^{6 x}\, dx

        1. que u=6xu = 6 x.

          Luego que du=6dxdu = 6 dx y ponemos du6\frac{du}{6}:

          ∫eu6 du\int \frac{e^{u}}{6}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu6\frac{e^{u}}{6}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e6x6\frac{e^{6 x}}{6}

        Por lo tanto, el resultado es: 2e6x3\frac{2 e^{6 x}}{3}

      El resultado es: xe6x2+7e6x12\frac{x e^{6 x}}{2} + \frac{7 e^{6 x}}{12}

  2. Ahora simplificar:

    (6x+7)e6x12\frac{\left(6 x + 7\right) e^{6 x}}{12}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (6x+7)e6x12+constant\frac{\left(6 x + 7\right) e^{6 x}}{12}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(6x+7)e6x12+constant\frac{\left(6 x + 7\right) e^{6 x}}{12}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                       
 |                            6*x      6*x
 |            6*x          7*e      x*e   
 | (3*x + 4)*e    dx = C + ------ + ------
 |                           12       2   
/
∫(3x+4)e6x dx=C+xe6x2+7e6x12\int \left(3 x + 4\right) e^{6 x}\, dx = C + \frac{x e^{6 x}}{2} + \frac{7 e^{6 x}}{12}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9005000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
           6
  7    13*e 
- -- + -----
  12     12
−712+13e612- \frac{7}{12} + \frac{13 e^{6}}{12} 
=
= 
           6
  7    13*e 
- -- + -----
  12     12
−712+13e612- \frac{7}{12} + \frac{13 e^{6}}{12} 
-7/12 + 13*exp(6)/12
Respuesta numérica [src] 
436.464526283796
436.464526283796

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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