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Resolución de integrales/ sin2x/ cosx^3/ x*cosx/ sin2x*cosx^3

Integral de sin2x*cosx^3 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                    
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 |                     
 |              3      
 |  sin(2*x)*cos (x) dx
 |                     
/                      
0
∫01sin⁡(2x)cos⁡3(x) dx\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(2 x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx 
Integral(sin(2*x)*cos(x)^3, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡(2x)cos⁡3(x)=(1−sin⁡2(x))sin⁡(2x)cos⁡(x)\sin{\left(2 x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−sin⁡2(x))sin⁡(2x)cos⁡(x)=−sin⁡2(x)sin⁡(2x)cos⁡(x)+sin⁡(2x)cos⁡(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡2(x)sin⁡(2x)cos⁡(x)) dx=−∫sin⁡2(x)sin⁡(2x)cos⁡(x) dx\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2sin⁡3(x)cos⁡2(x) dx=2∫sin⁡3(x)cos⁡2(x) dx\int 2 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            sin⁡3(x)cos⁡2(x)=(1−cos⁡2(x))sin⁡(x)cos⁡2(x)\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

          2. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

            ∫(u4−u2) du\int \left(u^{4} - u^{2}\right)\, du

            1. Integramos término a término:

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−u2) du=−∫u2 du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

              El resultado es: u55−u33\frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            cos⁡5(x)5−cos⁡3(x)3\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: 2cos⁡5(x)5−2cos⁡3(x)3\frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡5(x)5+2cos⁡3(x)3- \frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} + \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2sin⁡(x)cos⁡2(x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡2(x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡3(x)3- \frac{2 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

      El resultado es: −2cos⁡5(x)5- \frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡(2x)cos⁡3(x)=2sin⁡(x)cos⁡4(x)\sin{\left(2 x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2sin⁡(x)cos⁡4(x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡4(x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u4) du\int \left(- u^{4}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u4 du=−∫u4 du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡5(x)5- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

      Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡5(x)5- \frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −2cos⁡5(x)5+constant- \frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−2cos⁡5(x)5+constant- \frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                   
 |                                5   
 |             3             2*cos (x)
 | sin(2*x)*cos (x) dx = C - ---------
 |                               5    
/
∫sin⁡(2x)cos⁡3(x) dx=C−2cos⁡5(x)5\int \sin{\left(2 x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{2 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901-1
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
         3                  3                  2                       2                 
2   2*cos (1)*cos(2)   2*sin (1)*sin(2)   4*sin (1)*cos(1)*cos(2)   cos (1)*sin(1)*sin(2)
- - ---------------- - ---------------- - ----------------------- + ---------------------
5          5                  5                      5                        5
−2sin⁡3(1)sin⁡(2)5−2cos⁡3(1)cos⁡(2)5+sin⁡(1)sin⁡(2)cos⁡2(1)5−4sin⁡2(1)cos⁡(1)cos⁡(2)5+25- \frac{2 \sin^{3}{\left(1 \right)} \sin{\left(2 \right)}}{5} - \frac{2 \cos^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{5} + \frac{\sin{\left(1 \right)} \sin{\left(2 \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{5} + \frac{2}{5} 
=
= 
         3                  3                  2                       2                 
2   2*cos (1)*cos(2)   2*sin (1)*sin(2)   4*sin (1)*cos(1)*cos(2)   cos (1)*sin(1)*sin(2)
- - ---------------- - ---------------- - ----------------------- + ---------------------
5          5                  5                      5                        5
−2sin⁡3(1)sin⁡(2)5−2cos⁡3(1)cos⁡(2)5+sin⁡(1)sin⁡(2)cos⁡2(1)5−4sin⁡2(1)cos⁡(1)cos⁡(2)5+25- \frac{2 \sin^{3}{\left(1 \right)} \sin{\left(2 \right)}}{5} - \frac{2 \cos^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{5} + \frac{\sin{\left(1 \right)} \sin{\left(2 \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{2}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{5} + \frac{2}{5} 
2/5 - 2*cos(1)^3*cos(2)/5 - 2*sin(1)^3*sin(2)/5 - 4*sin(1)^2*cos(1)*cos(2)/5 + cos(1)^2*sin(1)*sin(2)/5
Respuesta numérica [src] 
0.38158193097144
0.38158193097144

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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