Integral de 2*x*exp(-2(x-3)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $2 x e^{- 2 \left(x - 3\right)} = 2 x e^{6} e^{- 2 x}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 x e^{6} e^{- 2 x}\, dx = 2 e^{6} \int x e^{- 2 x}\, dx$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = - 2 x$.

            Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{e^{- 2 x}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int e^{- 2 x}\, dx}{2}$

         1. que $u = - 2 x$.

            Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{- 2 x}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 \left(- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}\right) e^{6}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $2 x e^{- 2 \left(x - 3\right)} = 2 x e^{6} e^{- 2 x}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 x e^{6} e^{- 2 x}\, dx = 2 e^{6} \int x e^{- 2 x}\, dx$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 2 x}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = - 2 x$.

            Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{e^{- 2 x}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int e^{- 2 x}\, dx}{2}$

         1. que $u = - 2 x$.

            Luego que $du = - 2 dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{2}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{- 2 x}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 \left(- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}\right) e^{6}$

2. Ahora simplificar:

   $- \left(x + \frac{1}{2}\right) e^{6 - 2 x}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \left(x + \frac{1}{2}\right) e^{6 - 2 x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \left(x + \frac{1}{2}\right) e^{6 - 2 x}+ \mathrm{constant}$