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Resolución de integrales/ 1/sin/ sin(x)/ 1/sin(x)^6

Integral de 1/sin(x)^6 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |     1      
 |  ------- dx
 |     6      
 |  sin (x)   
 |            
/             
0
∫011sin⁡6(x) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\sin^{6}{\left(x \right)}}\, dx 
Integral(1/(sin(x)^6), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    csc⁡6(x)=(cot⁡2(x)+1)2csc⁡2(x)\csc^{6}{\left(x \right)} = \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \csc^{2}{\left(x \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (cot⁡2(x)+1)2csc⁡2(x)=cot⁡4(x)csc⁡2(x)+2cot⁡2(x)csc⁡2(x)+csc⁡2(x)\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \csc^{2}{\left(x \right)} = \cot^{4}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 2 \cot^{2}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + \csc^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

        Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u4) du\int \left(- u^{4}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u4 du=−∫u4 du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cot⁡5(x)5- \frac{\cot^{5}{\left(x \right)}}{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2cot⁡2(x)csc⁡2(x) dx=2∫cot⁡2(x)csc⁡2(x) dx\int 2 \cot^{2}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \cot^{2}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

          Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cot⁡3(x)3- \frac{\cot^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −2cot⁡3(x)3- \frac{2 \cot^{3}{\left(x \right)}}{3}

      1. ∫csc⁡2(x) dx=−cot⁡(x)\int \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = - \cot{\left(x \right)}

      El resultado es: −cot⁡5(x)5−2cot⁡3(x)3−cot⁡(x)- \frac{\cot^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \cot^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cot{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (cot⁡2(x)+1)2csc⁡2(x)=cot⁡4(x)csc⁡2(x)+2cot⁡2(x)csc⁡2(x)+csc⁡2(x)\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \csc^{2}{\left(x \right)} = \cot^{4}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + 2 \cot^{2}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} + \csc^{2}{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

        Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u4) du\int \left(- u^{4}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u4 du=−∫u4 du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cot⁡5(x)5- \frac{\cot^{5}{\left(x \right)}}{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2cot⁡2(x)csc⁡2(x) dx=2∫cot⁡2(x)csc⁡2(x) dx\int 2 \cot^{2}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \cot^{2}{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

          Luego que du=(−cot⁡2(x)−1)dxdu = \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cot⁡3(x)3- \frac{\cot^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −2cot⁡3(x)3- \frac{2 \cot^{3}{\left(x \right)}}{3}

      1. ∫csc⁡2(x) dx=−cot⁡(x)\int \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = - \cot{\left(x \right)}

      El resultado es: −cot⁡5(x)5−2cot⁡3(x)3−cot⁡(x)- \frac{\cot^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \cot^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cot{\left(x \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −cot⁡5(x)5−2cot⁡3(x)3−cot⁡(x)+constant- \frac{\cot^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \cot^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cot{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−cot⁡5(x)5−2cot⁡3(x)3−cot⁡(x)+constant- \frac{\cot^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \cot^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cot{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                             
 |                                3         5   
 |    1                      2*cot (x)   cot (x)
 | ------- dx = C - cot(x) - --------- - -------
 |    6                          3          5   
 | sin (x)                                      
 |                                              
/
∫1sin⁡6(x) dx=C−cot⁡5(x)5−2cot⁡3(x)3−cot⁡(x)\int \frac{1}{\sin^{6}{\left(x \right)}}\, dx = C - \frac{\cot^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \cot^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cot{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-2e242e24
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo
Respuesta numérica [src] 
7.0110751903966e+94
7.0110751903966e+94

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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