Integral de sin(2x)*sin(6x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)} \sin{\left(3 u \right)}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin{\left(3 u \right)} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(3 u \right)} \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin{\left(3 u \right)} \sin{\left(u \right)} = - 4 \sin^{4}{\left(u \right)} + 3 \sin^{2}{\left(u \right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 4 \sin^{4}{\left(u \right)}\right)\, du = - 4 \int \sin^{4}{\left(u \right)}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\sin^{4}{\left(u \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\right)^{2}$

               2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                  Método #1

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 u \right)}\, du}{4}$

                        1. Vuelva a escribir el integrando:

                           $\cos^{2}{\left(2 u \right)} = \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

                        2. Integramos término a término:

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(4 u \right)}\, du}{2}$

                              1. que $u = 4 u$.

                                 Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                                 $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                                 1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                                    $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                                    1. La integral del coseno es seno:

                                       $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                                    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                                 Si ahora sustituir $u$ más en:

                                 $\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{4}$

                              Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}$

                           1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                              $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                           El resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{8} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$

                        1. que $u = 2 u$.

                           Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                           $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                              1. La integral del coseno es seno:

                                 $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                              Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                           Si ahora sustituir $u$ más en:

                           $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$

                     El resultado es: $\frac{3 u}{8} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}$

                  Método #2

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 u \right)}\, du}{4}$

                        1. Vuelva a escribir el integrando:

                           $\cos^{2}{\left(2 u \right)} = \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

                        2. Integramos término a término:

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(4 u \right)}\, du}{2}$

                              1. que $u = 4 u$.

                                 Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                                 $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                                 1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                                    $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                                    1. La integral del coseno es seno:

                                       $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                                    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                                 Si ahora sustituir $u$ más en:

                                 $\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{4}$

                              Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}$

                           1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                              $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                           El resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{8} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$

                        1. que $u = 2 u$.

                           Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                           $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                              1. La integral del coseno es seno:

                                 $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                              Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                           Si ahora sustituir $u$ más en:

                           $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$

                     El resultado es: $\frac{3 u}{8} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u}{2} + \sin{\left(2 u \right)} - \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 3 \sin^{2}{\left(u \right)}\, du = 3 \int \sin^{2}{\left(u \right)}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\sin^{2}{\left(u \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$

                     1. que $u = 2 u$.

                        Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                        $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                           1. La integral del coseno es seno:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

                  El resultado es: $\frac{u}{2} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u}{2} - \frac{3 \sin{\left(2 u \right)}}{4}$

            El resultado es: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{8} - \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{16}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$

   Método #2

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(6 x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \sin{\left(6 x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin{\left(x \right)} \sin{\left(6 x \right)} \cos{\left(x \right)} = 32 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - 32 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 6 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 32 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 32 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\sin^{6}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{3} \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)$

            2. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $du$:

               $\int \left(- \frac{\cos^{4}{\left(u \right)}}{32} + \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos{\left(u \right)}}{16} + \frac{1}{32}\right)\, du$

               1. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{\cos^{4}{\left(u \right)}}{32}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{4}{\left(u \right)}\, du}{32}$

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\cos^{4}{\left(u \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

                     2. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

                     3. Integramos término a término:

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 u \right)}\, du}{4}$

                           1. Vuelva a escribir el integrando:

                              $\cos^{2}{\left(2 u \right)} = \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

                           2. Integramos término a término:

                              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                                 $\int \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(4 u \right)}\, du}{2}$

                                 1. que $u = 4 u$.

                                    Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                                    $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                                    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                                       $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                                       1. La integral del coseno es seno:

                                          $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                                       Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                                    Si ahora sustituir $u$ más en:

                                    $\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{4}$

                                 Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}$

                              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                                 $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                              El resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{8} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$

                           1. que $u = 2 u$.

                              Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                              $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                                 $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                                 1. La integral del coseno es seno:

                                    $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                                 Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                              Si ahora sustituir $u$ más en:

                              $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$

                        El resultado es: $\frac{3 u}{8} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u}{256} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{1024}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16}\, du = \frac{\int \cos^{3}{\left(u \right)}\, du}{16}$

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\cos^{3}{\left(u \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)}$

                     2. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

                        Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

                        $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$

                        1. Integramos término a término:

                           1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                              $\int 1\, du = u$

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                              1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                                 $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                              Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

                           El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{16}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{32}\, du = \frac{u}{32}$

                  El resultado es: $\frac{5 u}{256} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{1024} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{5 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x}{4} - \frac{2 \sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{32}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 32 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 32 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)$

            2. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $du$:

               $\int \left(\frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos{\left(u \right)}}{16} + \frac{1}{16}\right)\, du$

               1. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16}\, du = \frac{\int \cos^{3}{\left(u \right)}\, du}{16}$

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\cos^{3}{\left(u \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)}$

                     2. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

                        Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

                        $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$

                        1. Integramos término a término:

                           1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                              $\int 1\, du = u$

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                              1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                                 $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                              Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

                           El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{16}$

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

                     2. Integramos término a término:

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$

                           1. que $u = 2 u$.

                              Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                              $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                                 $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                                 1. La integral del coseno es seno:

                                    $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                                 Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                              Si ahora sustituir $u$ más en:

                              $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                        El resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{16}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{16}\, du = \frac{u}{16}$

                  El resultado es: $\frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 x + \frac{2 \sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)$

            2. que $u = 2 x$.

               Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $du$:

               $\int \left(\frac{1}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du$

               1. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{8}\, du = \frac{u}{8}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{8}$

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

                     2. Integramos término a término:

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$

                           1. que $u = 2 u$.

                              Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                              $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                                 $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                                 1. La integral del coseno es seno:

                                    $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                                 Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                              Si ahora sustituir $u$ más en:

                              $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                        El resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}$

                  El resultado es: $\frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x}{4} - \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{16}$

         El resultado es: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{32}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(6 x \right)} = 64 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - 64 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 12 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 64 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 64 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin^{6}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{3} \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)$

         2. que $u = 2 x$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $du$:

            $\int \left(- \frac{\cos^{4}{\left(u \right)}}{32} + \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos{\left(u \right)}}{16} + \frac{1}{32}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{\cos^{4}{\left(u \right)}}{32}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{4}{\left(u \right)}\, du}{32}$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\cos^{4}{\left(u \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}$

                  2. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{4}$

                  3. Integramos término a término:

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{\cos^{2}{\left(2 u \right)}}{4}\, du = \frac{\int \cos^{2}{\left(2 u \right)}\, du}{4}$

                        1. Vuelva a escribir el integrando:

                           $\cos^{2}{\left(2 u \right)} = \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

                        2. Integramos término a término:

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(4 u \right)}\, du}{2}$

                              1. que $u = 4 u$.

                                 Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                                 $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                                 1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                                    $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$

                                    1. La integral del coseno es seno:

                                       $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                                    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$

                                 Si ahora sustituir $u$ más en:

                                 $\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{4}$

                              Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}$

                           1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                              $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                           El resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{8}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{8} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$

                        1. que $u = 2 u$.

                           Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                           $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                              1. La integral del coseno es seno:

                                 $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                              Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                           Si ahora sustituir $u$ más en:

                           $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$

                     El resultado es: $\frac{3 u}{8} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{32}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u}{256} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{1024}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16}\, du = \frac{\int \cos^{3}{\left(u \right)}\, du}{16}$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\cos^{3}{\left(u \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)}$

                  2. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

                     Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

                     $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$

                     1. Integramos término a término:

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int 1\, du = u$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

                        El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{16}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{32}\, du = \frac{u}{32}$

               El resultado es: $\frac{5 u}{256} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(4 u \right)}}{1024} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{5 x}{128} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{128} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{1024}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x}{2} - \frac{4 \sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 64 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 64 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin^{4}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)$

         2. que $u = 2 x$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $du$:

            $\int \left(\frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos{\left(u \right)}}{16} + \frac{1}{16}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16}\, du = \frac{\int \cos^{3}{\left(u \right)}\, du}{16}$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\cos^{3}{\left(u \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)}$

                  2. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

                     Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

                     $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$

                     1. Integramos término a término:

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int 1\, du = u$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

                        El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{16}$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$

                        1. que $u = 2 u$.

                           Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                           $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                              1. La integral del coseno es seno:

                                 $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                              Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                           Si ahora sustituir $u$ más en:

                           $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                     El resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{16}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{16}\, du = \frac{u}{16}$

               El resultado es: $\frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{x}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{64}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4 x + \frac{4 \sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} + \sin{\left(4 x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 12 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 12 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)$

         2. que $u = 2 x$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $du$:

            $\int \left(\frac{1}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{8}\, du = \frac{u}{8}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{8}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{8}$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$

                        1. que $u = 2 u$.

                           Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                           $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                              1. La integral del coseno es seno:

                                 $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                              Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                           Si ahora sustituir $u$ más en:

                           $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

                     El resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}$

               El resultado es: $\frac{u}{16} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{32}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{x}{8} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x}{2} - \frac{3 \sin{\left(4 x \right)}}{8}$

      El resultado es: $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} - \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}+ \mathrm{constant}$