Sr Examen

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Integral de 1/(1+4*x^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
 1/2           
  /            
 |             
 |     1       
 |  -------- dx
 |         2   
 |  1 + 4*x    
 |             
/              
-oo            
$$\int\limits_{-\infty}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 x^{2} + 1}\, dx$$
Integral(1/(1 + 4*x^2), (x, -oo, 1/2))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /           
 |            
 |    1       
 | -------- dx
 |        2   
 | 1 + 4*x    
 |            
/             
Reescribimos la función subintegral
   1              1       
-------- = ---------------
       2     /      2    \
1 + 4*x    1*\(-2*x)  + 1/
o
  /             
 |              
 |    1         
 | -------- dx  
 |        2    =
 | 1 + 4*x      
 |              
/               
  
  /              
 |               
 |      1        
 | ----------- dx
 |       2       
 | (-2*x)  + 1   
 |               
/                
En integral
  /              
 |               
 |      1        
 | ----------- dx
 |       2       
 | (-2*x)  + 1   
 |               
/                
hacemos el cambio
v = -2*x
entonces
integral =
  /                   
 |                    
 |   1                
 | ------ dv = atan(v)
 |      2             
 | 1 + v              
 |                    
/                     
hacemos cambio inverso
  /                          
 |                           
 |      1           atan(2*x)
 | ----------- dx = ---------
 |       2              2    
 | (-2*x)  + 1               
 |                           
/                            
La solución:
    atan(2*x)
C + ---------
        2    
Respuesta (Indefinida) [src]
  /                           
 |                            
 |    1              atan(2*x)
 | -------- dx = C + ---------
 |        2              2    
 | 1 + 4*x                    
 |                            
/                             
$$\int \frac{1}{4 x^{2} + 1}\, dx = C + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{2}$$
Gráfica
Respuesta [src]
3*pi
----
 8  
$$\frac{3 \pi}{8}$$
=
=
3*pi
----
 8  
$$\frac{3 \pi}{8}$$
3*pi/8

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.