Integral de (x^5-x^3+4*x)*cos(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(4 x + \left(x^{5} - x^{3}\right)\right) \cos{\left(x \right)} = x^{5} \cos{\left(x \right)} - x^{3} \cos{\left(x \right)} + 4 x \cos{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x^{5}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 5 x^{4}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = 5 x^{4}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 20 x^{3}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      3. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = - 20 x^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 60 x^{2}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      4. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = - 60 x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 120 x$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      5. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = 120 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 120$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      6. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 120 \sin{\left(x \right)}\, dx = 120 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 120 \cos{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{3} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int x^{3} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = 3 x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 6 x$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = - 6 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = -6$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 6 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 6 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $6 \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- x^{3} \sin{\left(x \right)} - 3 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 6 x \sin{\left(x \right)} + 6 \cos{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x \cos{\left(x \right)}\, dx = 4 \int x \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 x \sin{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}$

      El resultado es: $x^{5} \sin{\left(x \right)} + 5 x^{4} \cos{\left(x \right)} - 21 x^{3} \sin{\left(x \right)} - 63 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 130 x \sin{\left(x \right)} + 130 \cos{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = x \left(x^{4} - x^{2} + 4\right)$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = x^{4} - x^{2} + x \left(4 x^{3} - 2 x\right) + 4$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = 5 x^{4} - 3 x^{2} + 4$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 20 x^{3} - 6 x$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   3. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = - 2 x \left(10 x^{2} - 3\right)$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 6 - 60 x^{2}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   4. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = 6 - 60 x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 120 x$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   5. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = 120 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 120$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   6. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 120 \sin{\left(x \right)}\, dx = 120 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

      1. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 120 \cos{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x^{5} \sin{\left(x \right)} + 5 x^{4} \cos{\left(x \right)} - 21 x^{3} \sin{\left(x \right)} - 63 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 130 x \sin{\left(x \right)} + 130 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x^{5} \sin{\left(x \right)} + 5 x^{4} \cos{\left(x \right)} - 21 x^{3} \sin{\left(x \right)} - 63 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 130 x \sin{\left(x \right)} + 130 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$