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Resolución de integrales/ sin^2/ cos(t)/ -asin^2(t)+b*cos(t)*(t+1)

Integral de -asin^2(t)+b*cos(t)*(t+1) dt

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 2*pi                                  
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  |  /      2                      \   
  |  \- asin (t) + b*cos(t)*(t + 1)/ dt
  |                                    
 /                                     
 0
∫02π(bcos⁡(t)(t+1)−asin⁡2(t)) dt\int\limits_{0}^{2 \pi} \left(b \cos{\left(t \right)} \left(t + 1\right) - \operatorname{asin}^{2}{\left(t \right)}\right)\, dt 
Integral(-asin(t)^2 + (b*cos(t))*(t + 1), (t, 0, 2*pi))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      bcos⁡(t)(t+1)=btcos⁡(t)+bcos⁡(t)b \cos{\left(t \right)} \left(t + 1\right) = b t \cos{\left(t \right)} + b \cos{\left(t \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫btcos⁡(t) dt=b∫tcos⁡(t) dt\int b t \cos{\left(t \right)}\, dt = b \int t \cos{\left(t \right)}\, dt

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(t)=tu{\left(t \right)} = t y que dv⁡(t)=cos⁡(t)\operatorname{dv}{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}.

          Entonces du⁡(t)=1\operatorname{du}{\left(t \right)} = 1.

          Para buscar v(t)v{\left(t \right)}:

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(t) dt=sin⁡(t)\int \cos{\left(t \right)}\, dt = \sin{\left(t \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(t) dt=−cos⁡(t)\int \sin{\left(t \right)}\, dt = - \cos{\left(t \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: b(tsin⁡(t)+cos⁡(t))b \left(t \sin{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)}\right)

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫bcos⁡(t) dt=b∫cos⁡(t) dt\int b \cos{\left(t \right)}\, dt = b \int \cos{\left(t \right)}\, dt

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(t) dt=sin⁡(t)\int \cos{\left(t \right)}\, dt = \sin{\left(t \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: bsin⁡(t)b \sin{\left(t \right)}

      El resultado es: b(tsin⁡(t)+cos⁡(t))+bsin⁡(t)b \left(t \sin{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)}\right) + b \sin{\left(t \right)}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−asin⁡2(t)) dt=−∫asin⁡2(t) dt\int \left(- \operatorname{asin}^{2}{\left(t \right)}\right)\, dt = - \int \operatorname{asin}^{2}{\left(t \right)}\, dt

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        tasin⁡2(t)−2t+21−t2asin⁡(t)t \operatorname{asin}^{2}{\left(t \right)} - 2 t + 2 \sqrt{1 - t^{2}} \operatorname{asin}{\left(t \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −tasin⁡2(t)+2t−21−t2asin⁡(t)- t \operatorname{asin}^{2}{\left(t \right)} + 2 t - 2 \sqrt{1 - t^{2}} \operatorname{asin}{\left(t \right)}

    El resultado es: b(tsin⁡(t)+cos⁡(t))+bsin⁡(t)−tasin⁡2(t)+2t−21−t2asin⁡(t)b \left(t \sin{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)}\right) + b \sin{\left(t \right)} - t \operatorname{asin}^{2}{\left(t \right)} + 2 t - 2 \sqrt{1 - t^{2}} \operatorname{asin}{\left(t \right)}

  2. Ahora simplificar:

    btsin⁡(t)+2bsin⁡(t+π4)−tasin⁡2(t)+2t−21−t2asin⁡(t)b t \sin{\left(t \right)} + \sqrt{2} b \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)} - t \operatorname{asin}^{2}{\left(t \right)} + 2 t - 2 \sqrt{1 - t^{2}} \operatorname{asin}{\left(t \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    btsin⁡(t)+2bsin⁡(t+π4)−tasin⁡2(t)+2t−21−t2asin⁡(t)+constantb t \sin{\left(t \right)} + \sqrt{2} b \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)} - t \operatorname{asin}^{2}{\left(t \right)} + 2 t - 2 \sqrt{1 - t^{2}} \operatorname{asin}{\left(t \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

btsin⁡(t)+2bsin⁡(t+π4)−tasin⁡2(t)+2t−21−t2asin⁡(t)+constantb t \sin{\left(t \right)} + \sqrt{2} b \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)} - t \operatorname{asin}^{2}{\left(t \right)} + 2 t - 2 \sqrt{1 - t^{2}} \operatorname{asin}{\left(t \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
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 | \- asin (t) + b*cos(t)*(t + 1)/ dt = C + 2*t + b*(t*sin(t) + cos(t)) + b*sin(t) - t*asin (t) - 2*\/  1 - t  *asin(t)
 |                                                                                                                     
/
∫(bcos⁡(t)(t+1)−asin⁡2(t)) dt=C+b(tsin⁡(t)+cos⁡(t))+bsin⁡(t)−tasin⁡2(t)+2t−21−t2asin⁡(t)\int \left(b \cos{\left(t \right)} \left(t + 1\right) - \operatorname{asin}^{2}{\left(t \right)}\right)\, dt = C + b \left(t \sin{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)}\right) + b \sin{\left(t \right)} - t \operatorname{asin}^{2}{\left(t \right)} + 2 t - 2 \sqrt{1 - t^{2}} \operatorname{asin}{\left(t \right)}
Simplificar
Respuesta [src] 
                               ___________           
                2             /         2            
4*pi - 2*pi*asin (2*pi) - 2*\/  1 - 4*pi  *asin(2*pi)
4π−21−4π2asin⁡(2π)−2πasin⁡2(2π)4 \pi - 2 \sqrt{1 - 4 \pi^{2}} \operatorname{asin}{\left(2 \pi \right)} - 2 \pi \operatorname{asin}^{2}{\left(2 \pi \right)} 
=
= 
                               ___________           
                2             /         2            
4*pi - 2*pi*asin (2*pi) - 2*\/  1 - 4*pi  *asin(2*pi)
4π−21−4π2asin⁡(2π)−2πasin⁡2(2π)4 \pi - 2 \sqrt{1 - 4 \pi^{2}} \operatorname{asin}{\left(2 \pi \right)} - 2 \pi \operatorname{asin}^{2}{\left(2 \pi \right)} 
4*pi - 2*pi*asin(2*pi)^2 - 2*sqrt(1 - 4*pi^2)*asin(2*pi)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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