Integral de (cos(3x)-cos(x))/sin(2x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{- \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}} + \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}} = \frac{1}{2 \sin{\left(x \right)}}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{2 \sin{\left(x \right)}}\, dx = \frac{\int \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\, dx}{2}$

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

               Pero la integral

               $\frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{4} + \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{4}$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{\cos{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}} = \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{3}{2 \sin{\left(x \right)}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx = 2 \int \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx$

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

               Pero la integral

               $\frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{3}{2 \sin{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \frac{3 \int \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\, dx}{2}$

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

               Pero la integral

               $\frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{4} + \frac{3 \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{4}$

         El resultado es: $\frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{4} + 2 \cos{\left(x \right)}$

      El resultado es: $2 \cos{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{- \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}} = \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{2}{\sin{\left(x \right)}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx = 2 \int \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $\frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{2}{\sin{\left(x \right)}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $\frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} - 1 \right)} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} + 1 \right)}$

      El resultado es: $2 \cos{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$