Integral de (1/x-2/x^3)*e^(-x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{\left(2 u^{2} - 1\right) e^{- \frac{1}{u}}}{u}\, du$

      1. que $u = \frac{1}{u}$.

         Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{\left(u^{2} - 2\right) e^{- u}}{u^{3}}\, du$

         1. que $u = - u$.

            Luego que $du = - du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{u^{2} e^{u} - 2 e^{u}}{u^{3}}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u^{2} e^{u} - 2 e^{u}}{u^{3}} = \frac{e^{u}}{u} - \frac{2 e^{u}}{u^{3}}$

            2. Integramos término a término:

               EiRule(a=1, b=0, context=exp(_u)/_u, symbol=_u)

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{2 e^{u}}{u^{3}}\right)\, du = - 2 \int \frac{e^{u}}{u^{3}}\, du$

                  UpperGammaRule(a=1, e=-3, context=exp(_u)/_u**3, symbol=_u)

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \operatorname{E}_{3}\left(- u\right)}{u^{2}}$

               El resultado es: $\operatorname{Ei}{\left(u \right)} + \frac{2 \operatorname{E}_{3}\left(- u\right)}{u^{2}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\operatorname{Ei}{\left(- u \right)} + \frac{2 \operatorname{E}_{3}\left(u\right)}{u^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $2 u^{2} \operatorname{E}_{3}\left(\frac{1}{u}\right) + \operatorname{Ei}{\left(- \frac{1}{u} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\operatorname{Ei}{\left(- x \right)} + \frac{2 \operatorname{E}_{3}\left(x\right)}{x^{2}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{- x} \left(- \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x}\right) = \frac{\left(x^{2} - 2\right) e^{- x}}{x^{3}}$

   2. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u^{2} e^{u} - 2 e^{u}}{u^{3}}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u^{2} e^{u} - 2 e^{u}}{u^{3}} = \frac{e^{u}}{u} - \frac{2 e^{u}}{u^{3}}$

      2. Integramos término a término:

         EiRule(a=1, b=0, context=exp(_u)/_u, symbol=_u)

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{2 e^{u}}{u^{3}}\right)\, du = - 2 \int \frac{e^{u}}{u^{3}}\, du$

            UpperGammaRule(a=1, e=-3, context=exp(_u)/_u**3, symbol=_u)

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \operatorname{E}_{3}\left(- u\right)}{u^{2}}$

         El resultado es: $\operatorname{Ei}{\left(u \right)} + \frac{2 \operatorname{E}_{3}\left(- u\right)}{u^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\operatorname{Ei}{\left(- x \right)} + \frac{2 \operatorname{E}_{3}\left(x\right)}{x^{2}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{- x} \left(- \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x}\right) = \frac{e^{- x}}{x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{3}}$

   2. Integramos término a término:

      EiRule(a=-1, b=0, context=exp(-x)/x, symbol=x)

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{2 e^{- x}}{x^{3}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{e^{- x}}{x^{3}}\, dx$

         UpperGammaRule(a=-1, e=-3, context=exp(-x)/x**3, symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \operatorname{E}_{3}\left(x\right)}{x^{2}}$

      El resultado es: $\operatorname{Ei}{\left(- x \right)} + \frac{2 \operatorname{E}_{3}\left(x\right)}{x^{2}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\operatorname{Ei}{\left(- x \right)} + \frac{2 \operatorname{E}_{3}\left(x\right)}{x^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\operatorname{Ei}{\left(- x \right)} + \frac{2 \operatorname{E}_{3}\left(x\right)}{x^{2}}+ \mathrm{constant}$