Integral de (3x^7-xsqrtx+5x^3-1)/sqrt(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(6 u^{14} + 10 u^{6} - 2 u^{3} - 2\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 u^{14}\, du = 6 \int u^{14}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{15}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 10 u^{6}\, du = 10 \int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{10 u^{7}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 u^{3}\right)\, du = - 2 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-2\right)\, du = - 2 u$

         El resultado es: $\frac{2 u^{15}}{5} + \frac{10 u^{7}}{7} - \frac{u^{4}}{2} - 2 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 x^{\frac{15}{2}}}{5} + \frac{10 x^{\frac{7}{2}}}{7} - 2 \sqrt{x} - \frac{x^{2}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(5 x^{3} + \left(- \sqrt{x} x + 3 x^{7}\right)\right) - 1}{\sqrt{x}} = 3 x^{\frac{13}{2}} + 5 x^{\frac{5}{2}} - x - \frac{1}{\sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x^{\frac{13}{2}}\, dx = 3 \int x^{\frac{13}{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{13}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{15}{2}}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 x^{\frac{15}{2}}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 x^{\frac{5}{2}}\, dx = 5 \int x^{\frac{5}{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{5}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{10 x^{\frac{7}{2}}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt{x}$

      El resultado es: $\frac{2 x^{\frac{15}{2}}}{5} + \frac{10 x^{\frac{7}{2}}}{7} - 2 \sqrt{x} - \frac{x^{2}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 x^{\frac{15}{2}}}{5} + \frac{10 x^{\frac{7}{2}}}{7} - 2 \sqrt{x} - \frac{x^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 x^{\frac{15}{2}}}{5} + \frac{10 x^{\frac{7}{2}}}{7} - 2 \sqrt{x} - \frac{x^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$