Integral de ((5x^2-2x+1)^3)(5x-1)dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \left(5 x^{2} - 2 x\right) + 1$.

      Luego que $du = \left(10 x - 2\right) dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{3}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{3}\, du = \frac{\int u^{3}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{8}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(\left(5 x^{2} - 2 x\right) + 1\right)^{4}}{8}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(5 x - 1\right) \left(\left(5 x^{2} - 2 x\right) + 1\right)^{3} = 625 x^{7} - 875 x^{6} + 825 x^{5} - 475 x^{4} + 203 x^{3} - 57 x^{2} + 11 x - 1$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 625 x^{7}\, dx = 625 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{625 x^{8}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 875 x^{6}\right)\, dx = - 875 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 125 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 825 x^{5}\, dx = 825 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{275 x^{6}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 475 x^{4}\right)\, dx = - 475 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 95 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 203 x^{3}\, dx = 203 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{203 x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 57 x^{2}\right)\, dx = - 57 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 19 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 11 x\, dx = 11 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{11 x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

      El resultado es: $\frac{625 x^{8}}{8} - 125 x^{7} + \frac{275 x^{6}}{2} - 95 x^{5} + \frac{203 x^{4}}{4} - 19 x^{3} + \frac{11 x^{2}}{2} - x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(5 x^{2} - 2 x + 1\right)^{4}}{8}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(5 x^{2} - 2 x + 1\right)^{4}}{8}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(5 x^{2} - 2 x + 1\right)^{4}}{8}+ \mathrm{constant}$