Integral de lg(9x+1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 9 x + 1$.

      Luego que $du = 9 dx$ y ponemos $\frac{du}{9}$:

      $\int \frac{\log{\left(u \right)}}{9}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \log{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \log{\left(u \right)}\, du}{9}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u \log{\left(u \right)}}{9} - \frac{u}{9}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- x + \frac{\left(9 x + 1\right) \log{\left(9 x + 1 \right)}}{9} - \frac{1}{9}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(9 x + 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{9}{9 x + 1}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{9 x}{9 x + 1}\, dx = 9 \int \frac{x}{9 x + 1}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x}{9 x + 1} = \frac{1}{9} - \frac{1}{9 \left(9 x + 1\right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{9}\, dx = \frac{x}{9}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{9 \left(9 x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{9 x + 1}\, dx}{9}$

            1. que $u = 9 x + 1$.

               Luego que $du = 9 dx$ y ponemos $\frac{du}{9}$:

               $\int \frac{1}{9 u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{9}$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{9}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\log{\left(9 x + 1 \right)}}{9}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(9 x + 1 \right)}}{81}$

         El resultado es: $\frac{x}{9} - \frac{\log{\left(9 x + 1 \right)}}{81}$

      Por lo tanto, el resultado es: $x - \frac{\log{\left(9 x + 1 \right)}}{9}$

2. Ahora simplificar:

   $- x + \frac{\left(9 x + 1\right) \log{\left(9 x + 1 \right)}}{9} - \frac{1}{9}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- x + \frac{\left(9 x + 1\right) \log{\left(9 x + 1 \right)}}{9} - \frac{1}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- x + \frac{\left(9 x + 1\right) \log{\left(9 x + 1 \right)}}{9} - \frac{1}{9}+ \mathrm{constant}$