Integral de 9*x^2*ln(x+2) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x + 2 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 9 x^{2}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 2}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 9 x^{2}\, dx = 9 \int x^{2}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $3 x^{3}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{3 x^{3}}{x + 2}\, dx = 3 \int \frac{x^{3}}{x + 2}\, dx$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3}}{x + 2} = x^{2} - 2 x + 4 - \frac{8}{x + 2}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 x\right)\, dx = - 2 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 4\, dx = 4 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{8}{x + 2}\right)\, dx = - 8 \int \frac{1}{x + 2}\, dx$

         1. que $u = x + 2$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x + 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 8 \log{\left(x + 2 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 4 x - 8 \log{\left(x + 2 \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $x^{3} - 3 x^{2} + 12 x - 24 \log{\left(x + 2 \right)}$

3. Ahora simplificar:

   $3 x^{3} \log{\left(x + 2 \right)} - x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 24 \log{\left(x + 2 \right)}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $3 x^{3} \log{\left(x + 2 \right)} - x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 24 \log{\left(x + 2 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$3 x^{3} \log{\left(x + 2 \right)} - x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 24 \log{\left(x + 2 \right)}+ \mathrm{constant}$