Sr Examen

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Resolución de integrales/ (5-x)/ (5-x)lnx

Integral de (5-x)lnx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                  
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 |                   
 |  (5 - x)*log(x) dx
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0
∫01(5−x)log⁡(x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(5 - x\right) \log{\left(x \right)}\, dx 
Integral((5 - x)*log(x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=−xu = - x.

      Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos dudu:

      ∫(−ulog⁡(−u)−5log⁡(−u)) du\int \left(- u \log{\left(- u \right)} - 5 \log{\left(- u \right)}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−ulog⁡(−u)) du=−∫ulog⁡(−u) du\int \left(- u \log{\left(- u \right)}\right)\, du = - \int u \log{\left(- u \right)}\, du

          1. que u=−uu = - u.

            Luego que du=−dudu = - du y ponemos dudu:

            ∫ulog⁡(u) du\int u \log{\left(u \right)}\, du

            1. que u=log⁡(u)u = \log{\left(u \right)}.

              Luego que du=duudu = \frac{du}{u} y ponemos dudu:

              ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

              1. Usamos la integración por partes:

                ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

                que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

                Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

                Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

                1. que u=2uu = 2 u.

                  Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                  ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    False\text{False}

                    1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                      ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                    Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

                Ahora resolvemos podintegral.

              2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

                1. que u=2uu = 2 u.

                  Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                  ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    False\text{False}

                    1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                      ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                    Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

              Si ahora sustituir uu más en:

              u2log⁡(u)2−u24\frac{u^{2} \log{\left(u \right)}}{2} - \frac{u^{2}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            u2log⁡(−u)2−u24\frac{u^{2} \log{\left(- u \right)}}{2} - \frac{u^{2}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −u2log⁡(−u)2+u24- \frac{u^{2} \log{\left(- u \right)}}{2} + \frac{u^{2}}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−5log⁡(−u)) du=−5∫log⁡(−u) du\int \left(- 5 \log{\left(- u \right)}\right)\, du = - 5 \int \log{\left(- u \right)}\, du

          1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que u=−uu = - u.

              Luego que du=−dudu = - du y ponemos −du- du:

              ∫(−log⁡(u)) du\int \left(- \log{\left(u \right)}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫log⁡(u) du=−∫log⁡(u) du\int \log{\left(u \right)}\, du = - \int \log{\left(u \right)}\, du

                1. Usamos la integración por partes:

                  ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

                  que u(u)=log⁡(u)u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=1\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1.

                  Entonces du⁡(u)=1u\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}.

                  Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                    ∫1 du=u\int 1\, du = u

                  Ahora resolvemos podintegral.

                2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  ∫1 du=u\int 1\, du = u

                Por lo tanto, el resultado es: −ulog⁡(u)+u- u \log{\left(u \right)} + u

              Si ahora sustituir uu más en:

              ulog⁡(−u)−uu \log{\left(- u \right)} - u

            Método #2

            1. Usamos la integración por partes:

              ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

              que u(u)=log⁡(−u)u{\left(u \right)} = \log{\left(- u \right)} y que dv⁡(u)=1\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1.

              Entonces du⁡(u)=1u\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}.

              Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫1 du=u\int 1\, du = u

              Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 du=u\int 1\, du = u

          Por lo tanto, el resultado es: −5ulog⁡(−u)+5u- 5 u \log{\left(- u \right)} + 5 u

        El resultado es: −u2log⁡(−u)2+u24−5ulog⁡(−u)+5u- \frac{u^{2} \log{\left(- u \right)}}{2} + \frac{u^{2}}{4} - 5 u \log{\left(- u \right)} + 5 u

      Si ahora sustituir uu más en:

      −x2log⁡(x)2+x24+5xlog⁡(x)−5x- \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + 5 x \log{\left(x \right)} - 5 x

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (5−x)log⁡(x)=−xlog⁡(x)+5log⁡(x)\left(5 - x\right) \log{\left(x \right)} = - x \log{\left(x \right)} + 5 \log{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−xlog⁡(x)) dx=−∫xlog⁡(x) dx\int \left(- x \log{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int x \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −x2log⁡(x)2+x24- \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5log⁡(x) dx=5∫log⁡(x) dx\int 5 \log{\left(x \right)}\, dx = 5 \int \log{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

          Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Por lo tanto, el resultado es: 5xlog⁡(x)−5x5 x \log{\left(x \right)} - 5 x

      El resultado es: −x2log⁡(x)2+x24+5xlog⁡(x)−5x- \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + 5 x \log{\left(x \right)} - 5 x

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=5−x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 5 - x.

      Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫5 dx=5x\int 5\, dx = 5 x

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−x) dx=−∫x dx\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −x22- \frac{x^{2}}{2}

        El resultado es: −x22+5x- \frac{x^{2}}{2} + 5 x

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      −x22+5xx=5−x2\frac{- \frac{x^{2}}{2} + 5 x}{x} = 5 - \frac{x}{2}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫5 dx=5x\int 5\, dx = 5 x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x2) dx=−∫x dx2\int \left(- \frac{x}{2}\right)\, dx = - \frac{\int x\, dx}{2}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −x24- \frac{x^{2}}{4}

      El resultado es: −x24+5x- \frac{x^{2}}{4} + 5 x

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (5−x)log⁡(x)=−xlog⁡(x)+5log⁡(x)\left(5 - x\right) \log{\left(x \right)} = - x \log{\left(x \right)} + 5 \log{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−xlog⁡(x)) dx=−∫xlog⁡(x) dx\int \left(- x \log{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int x \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −x2log⁡(x)2+x24- \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5log⁡(x) dx=5∫log⁡(x) dx\int 5 \log{\left(x \right)}\, dx = 5 \int \log{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

          Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Por lo tanto, el resultado es: 5xlog⁡(x)−5x5 x \log{\left(x \right)} - 5 x

      El resultado es: −x2log⁡(x)2+x24+5xlog⁡(x)−5x- \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + 5 x \log{\left(x \right)} - 5 x

  2. Ahora simplificar:

    x(−2xlog⁡(x)+x+20log⁡(x)−20)4\frac{x \left(- 2 x \log{\left(x \right)} + x + 20 \log{\left(x \right)} - 20\right)}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x(−2xlog⁡(x)+x+20log⁡(x)−20)4+constant\frac{x \left(- 2 x \log{\left(x \right)} + x + 20 \log{\left(x \right)} - 20\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x(−2xlog⁡(x)+x+20log⁡(x)−20)4+constant\frac{x \left(- 2 x \log{\left(x \right)} + x + 20 \log{\left(x \right)} - 20\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                               2                 2       
 |                               x                 x *log(x)
 | (5 - x)*log(x) dx = C - 5*x + -- + 5*x*log(x) - ---------
 |                               4                     2    
/
∫(5−x)log⁡(x) dx=C−x2log⁡(x)2+x24+5xlog⁡(x)−5x\int \left(5 - x\right) \log{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + 5 x \log{\left(x \right)} - 5 x
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-5050
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-19/4
−194- \frac{19}{4} 
=
= 
-19/4
−194- \frac{19}{4} 
-19/4
Respuesta numérica [src] 
-4.75
-4.75

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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