Integral de ((ln(3x+1))^(1/3))/(3x+1) dx

1. que $u = 3 x + 1$.

   Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

   $\int \frac{\sqrt[3]{\log{\left(u \right)}}}{3 u}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\sqrt[3]{\log{\left(u \right)}}}{u}\, du = \frac{\int \frac{\sqrt[3]{\log{\left(u \right)}}}{u}\, du}{3}$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = \frac{1}{u}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\sqrt[3]{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\sqrt[3]{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u}\, du = - \int \frac{\sqrt[3]{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- \sqrt[3]{u}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \sqrt[3]{u}\, du = - \int \sqrt[3]{u}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \sqrt[3]{u}\, du = \frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{\frac{4}{3}}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{\frac{4}{3}}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{3 \log{\left(u \right)}^{\frac{4}{3}}}{4}$

         Método #2

         1. que $u = \log{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

            $\int \sqrt[3]{u}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt[3]{u}\, du = \frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{3 \log{\left(u \right)}^{\frac{4}{3}}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}^{\frac{4}{3}}}{4}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{\log{\left(3 x + 1 \right)}^{\frac{4}{3}}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\log{\left(3 x + 1 \right)}^{\frac{4}{3}}}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(3 x + 1 \right)}^{\frac{4}{3}}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(3 x + 1 \right)}^{\frac{4}{3}}}{4}+ \mathrm{constant}$