Sr Examen

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Integral de ln(sqrt(x^2+y^2)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                     
  /                     
 |                      
 |     /   _________\   
 |     |  /  2    2 |   
 |  log\\/  x  + y  / dx
 |                      
/                       
0                       
$$\int\limits_{0}^{1} \log{\left(\sqrt{x^{2} + y^{2}} \right)}\, dx$$
Integral(log(sqrt(x^2 + y^2)), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Usamos la integración por partes:

    que y que .

    Entonces .

    Para buscar :

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. Vuelva a escribir el integrando:

  3. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      1. Integral es .

      Por lo tanto, el resultado es:

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

    El resultado es:

  4. Ahora simplificar:

  5. Añadimos la constante de integración:


Respuesta:

Respuesta (Indefinida) [src]
                                                         2     /   x   \
  /                                                     y *atan|-------|
 |                                                             |   ____|
 |    /   _________\                   /   _________\          |  /  2 |
 |    |  /  2    2 |                   |  /  2    2 |          \\/  y  /
 | log\\/  x  + y  / dx = C - x + x*log\\/  x  + y  / + ----------------
 |                                                             ____     
/                                                             /  2      
                                                            \/  y       
$$\int \log{\left(\sqrt{x^{2} + y^{2}} \right)}\, dx = C + x \log{\left(\sqrt{x^{2} + y^{2}} \right)} - x + \frac{y^{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}$$
Respuesta [src]
                                                                             /   ________\
       /I*log(-I*y)   I*log(I*y)\     /I*log(1 - I*y)   I*log(1 + I*y)\      |  /      2 |
-1 + y*|----------- - ----------| - y*|-------------- - --------------| + log\\/  1 + y  /
       \     2            2     /     \      2                2       /                   
$$y \left(\frac{i \log{\left(- i y \right)}}{2} - \frac{i \log{\left(i y \right)}}{2}\right) - y \left(\frac{i \log{\left(- i y + 1 \right)}}{2} - \frac{i \log{\left(i y + 1 \right)}}{2}\right) + \log{\left(\sqrt{y^{2} + 1} \right)} - 1$$
=
=
                                                                             /   ________\
       /I*log(-I*y)   I*log(I*y)\     /I*log(1 - I*y)   I*log(1 + I*y)\      |  /      2 |
-1 + y*|----------- - ----------| - y*|-------------- - --------------| + log\\/  1 + y  /
       \     2            2     /     \      2                2       /                   
$$y \left(\frac{i \log{\left(- i y \right)}}{2} - \frac{i \log{\left(i y \right)}}{2}\right) - y \left(\frac{i \log{\left(- i y + 1 \right)}}{2} - \frac{i \log{\left(i y + 1 \right)}}{2}\right) + \log{\left(\sqrt{y^{2} + 1} \right)} - 1$$
-1 + y*(i*log(-i*y)/2 - i*log(i*y)/2) - y*(i*log(1 - i*y)/2 - i*log(1 + i*y)/2) + log(sqrt(1 + y^2))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.