Integral de x^3(lnx)^2 dx

1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

   $\int u^{2} e^{4 u}\, du$

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{4 u}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

      Para buscar $v{\left(u \right)}$:

      1. que $u = 4 u$.

         Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{4 u}}{4}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(u \right)} = \frac{u}{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{4 u}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{2}$.

      Para buscar $v{\left(u \right)}$:

      1. que $u = 4 u$.

         Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{4 u}}{4}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{e^{4 u}}{8}\, du = \frac{\int e^{4 u}\, du}{8}$

      1. que $u = 4 u$.

         Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{4 u}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{4 u}}{32}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}^{2}}{4} - \frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{8} + \frac{x^{4}}{32}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{4} \left(8 \log{\left(x \right)}^{2} - 4 \log{\left(x \right)} + 1\right)}{32}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{4} \left(8 \log{\left(x \right)}^{2} - 4 \log{\left(x \right)} + 1\right)}{32}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{4} \left(8 \log{\left(x \right)}^{2} - 4 \log{\left(x \right)} + 1\right)}{32}+ \mathrm{constant}$