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Resolución de integrales/ (lnx)^2/ x^3(lnx)^2

Integral de x^3(lnx)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1              
  /              
 |               
 |   3    2      
 |  x *log (x) dx
 |               
/                
0
∫01x3log⁡(x)2 dx\int\limits_{0}^{1} x^{3} \log{\left(x \right)}^{2}\, dx 
Integral(x^3*log(x)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

    Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

    ∫u2e4u du\int u^{2} e^{4 u}\, du

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=e4u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{4 u}.

      Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

      Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

      1. que u=4uu = 4 u.

        Luego que du=4dudu = 4 du y ponemos du4\frac{du}{4}:

        ∫eu4 du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        e4u4\frac{e^{4 u}}{4}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(u)=u2u{\left(u \right)} = \frac{u}{2} y que dv⁡(u)=e4u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{4 u}.

      Entonces du⁡(u)=12\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{2}.

      Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

      1. que u=4uu = 4 u.

        Luego que du=4dudu = 4 du y ponemos du4\frac{du}{4}:

        ∫eu4 du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        e4u4\frac{e^{4 u}}{4}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫e4u8 du=∫e4u du8\int \frac{e^{4 u}}{8}\, du = \frac{\int e^{4 u}\, du}{8}

      1. que u=4uu = 4 u.

        Luego que du=4dudu = 4 du y ponemos du4\frac{du}{4}:

        ∫eu4 du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        e4u4\frac{e^{4 u}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: e4u32\frac{e^{4 u}}{32}

    Si ahora sustituir uu más en:

    x4log⁡(x)24−x4log⁡(x)8+x432\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}^{2}}{4} - \frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{8} + \frac{x^{4}}{32}

  2. Ahora simplificar:

    x4(8log⁡(x)2−4log⁡(x)+1)32\frac{x^{4} \left(8 \log{\left(x \right)}^{2} - 4 \log{\left(x \right)} + 1\right)}{32}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x4(8log⁡(x)2−4log⁡(x)+1)32+constant\frac{x^{4} \left(8 \log{\left(x \right)}^{2} - 4 \log{\left(x \right)} + 1\right)}{32}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x4(8log⁡(x)2−4log⁡(x)+1)32+constant\frac{x^{4} \left(8 \log{\left(x \right)}^{2} - 4 \log{\left(x \right)} + 1\right)}{32}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                               
 |                      4    4           4    2   
 |  3    2             x    x *log(x)   x *log (x)
 | x *log (x) dx = C + -- - --------- + ----------
 |                     32       8           4     
/
∫x3log⁡(x)2 dx=C+x4log⁡(x)24−x4log⁡(x)8+x432\int x^{3} \log{\left(x \right)}^{2}\, dx = C + \frac{x^{4} \log{\left(x \right)}^{2}}{4} - \frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{8} + \frac{x^{4}}{32}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.000.10
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1/32
132\frac{1}{32} 
=
= 
1/32
132\frac{1}{32} 
1/32
Respuesta numérica [src] 
0.03125
0.03125

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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