Integral de 10^(x/4)-sin(πx) dx

1. Integramos término a término:

   1. que $u = \frac{x}{4}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{4}$ y ponemos $4 du$:

      $\int 4 \cdot 10^{u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 10^{u}\, du = 4 \int 10^{u}\, du$

         1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            $\int 10^{u}\, du = \frac{10^{u}}{\log{\left(10 \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 \cdot 10^{u}}{\log{\left(10 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{4 \cdot 10^{\frac{x}{4}}}{\log{\left(10 \right)}}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \sin{\left(\pi x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(\pi x \right)}\, dx$

      1. que $u = \pi x$.

         Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{\pi}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

   El resultado es: $\frac{4 \cdot 10^{\frac{x}{4}}}{\log{\left(10 \right)}} + \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{4 \cdot 10^{\frac{x}{4}}}{\log{\left(10 \right)}} + \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 \cdot 10^{\frac{x}{4}}}{\log{\left(10 \right)}} + \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 \cdot 10^{\frac{x}{4}}}{\log{\left(10 \right)}} + \frac{\cos{\left(\pi x \right)}}{\pi}+ \mathrm{constant}$