Sr Examen

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Resolución de integrales/ ln(x)/ x(1-ln(x))²+1

Integral de x(1-ln(x))²+1 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  3                         
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 |  \x*(1 - log(x))  + 1/ dx
 |                          
/                           
1
∫13(x(1−log⁡(x))2+1) dx\int\limits_{1}^{3} \left(x \left(1 - \log{\left(x \right)}\right)^{2} + 1\right)\, dx 
Integral(x*(1 - log(x))^2 + 1, (x, 1, 3))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x(1−log⁡(x))2=xlog⁡(x)2−2xlog⁡(x)+xx \left(1 - \log{\left(x \right)}\right)^{2} = x \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + x

      2. Integramos término a término:

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫u2e2u du\int u^{2} e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)22−x2log⁡(x)2+x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2xlog⁡(x)) dx=−2∫xlog⁡(x) dx\int \left(- 2 x \log{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int x \log{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

            Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

            ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

            1. Usamos la integración por partes:

              ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

              que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

              Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

              Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

              1. que u=2uu = 2 u.

                Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  False\text{False}

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                    ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

              Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

              1. que u=2uu = 2 u.

                Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  False\text{False}

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                    ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −x2log⁡(x)+x22- x^{2} \log{\left(x \right)} + \frac{x^{2}}{2}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        El resultado es: x2log⁡(x)22−3x2log⁡(x)2+5x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{5 x^{2}}{4}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x(1−log⁡(x))2=xlog⁡(x)2−2xlog⁡(x)+xx \left(1 - \log{\left(x \right)}\right)^{2} = x \log{\left(x \right)}^{2} - 2 x \log{\left(x \right)} + x

      2. Integramos término a término:

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫u2e2u du\int u^{2} e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)22−x2log⁡(x)2+x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2xlog⁡(x)) dx=−2∫xlog⁡(x) dx\int \left(- 2 x \log{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int x \log{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

            Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

            ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

            1. Usamos la integración por partes:

              ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

              que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

              Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

              Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

              1. que u=2uu = 2 u.

                Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  False\text{False}

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                    ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

              Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

              1. que u=2uu = 2 u.

                Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  False\text{False}

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                    ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: −x2log⁡(x)+x22- x^{2} \log{\left(x \right)} + \frac{x^{2}}{2}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        El resultado es: x2log⁡(x)22−3x2log⁡(x)2+5x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{5 x^{2}}{4}

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

    El resultado es: x2log⁡(x)22−3x2log⁡(x)2+5x24+x\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{5 x^{2}}{4} + x

  2. Ahora simplificar:

    x(2xlog⁡(x)2−6xlog⁡(x)+5x+4)4\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)}^{2} - 6 x \log{\left(x \right)} + 5 x + 4\right)}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x(2xlog⁡(x)2−6xlog⁡(x)+5x+4)4+constant\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)}^{2} - 6 x \log{\left(x \right)} + 5 x + 4\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x(2xlog⁡(x)2−6xlog⁡(x)+5x+4)4+constant\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)}^{2} - 6 x \log{\left(x \right)} + 5 x + 4\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                  
 |                                       2    2    2         2       
 | /              2    \              5*x    x *log (x)   3*x *log(x)
 | \x*(1 - log(x))  + 1/ dx = C + x + ---- + ---------- - -----------
 |                                     4         2             2     
/
∫(x(1−log⁡(x))2+1) dx=C+x2log⁡(x)22−3x2log⁡(x)2+5x24+x\int \left(x \left(1 - \log{\left(x \right)}\right)^{2} + 1\right)\, dx = C + \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{5 x^{2}}{4} + x
Simplificar
Gráfica
1.03.01.21.41.61.82.02.22.42.62.805
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                      2   
     27*log(3)   9*log (3)
12 - --------- + ---------
         2           2
−27log⁡(3)2+9log⁡(3)22+12- \frac{27 \log{\left(3 \right)}}{2} + \frac{9 \log{\left(3 \right)}^{2}}{2} + 12 
=
= 
                      2   
     27*log(3)   9*log (3)
12 - --------- + ---------
         2           2
−27log⁡(3)2+9log⁡(3)22+12- \frac{27 \log{\left(3 \right)}}{2} + \frac{9 \log{\left(3 \right)}^{2}}{2} + 12 
12 - 27*log(3)/2 + 9*log(3)^2/2
Respuesta numérica [src] 
2.60000442663714
2.60000442663714

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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