Integral de sin(6*x)/(5+4*cos(6*x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 6 x$.

      Luego que $du = 6 dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{24 \cos{\left(u \right)} + 30}\, du$

      1. que $u = 24 \cos{\left(u \right)} + 30$.

         Luego que $du = - 24 \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- \frac{du}{24}$:

         $\int \left(- \frac{1}{24 u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{24}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{24}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\log{\left(24 \cos{\left(u \right)} + 30 \right)}}{24}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\log{\left(24 \cos{\left(6 x \right)} + 30 \right)}}{24}$

   Método #2

   1. que $u = 4 \cos{\left(6 x \right)} + 5$.

      Luego que $du = - 24 \sin{\left(6 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{24}$:

      $\int \left(- \frac{1}{24 u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{24}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{24}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\log{\left(4 \cos{\left(6 x \right)} + 5 \right)}}{24}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\log{\left(24 \cos{\left(6 x \right)} + 30 \right)}}{24}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\log{\left(24 \cos{\left(6 x \right)} + 30 \right)}}{24}+ \mathrm{constant}$