Integral de x^31*log(x)/log(10) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{x^{31} \log{\left(x \right)}}{\log{\left(10 \right)}}\, dx = \frac{\int x^{31} \log{\left(x \right)}\, dx}{\log{\left(10 \right)}}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

         $\int u e^{32 u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{32 u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. que $u = 32 u$.

               Luego que $du = 32 du$ y ponemos $\frac{du}{32}$:

               $\int \frac{e^{u}}{32}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{32}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{32 u}}{32}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{32 u}}{32}\, du = \frac{\int e^{32 u}\, du}{32}$

            1. que $u = 32 u$.

               Luego que $du = 32 du$ y ponemos $\frac{du}{32}$:

               $\int \frac{e^{u}}{32}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{32}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{32 u}}{32}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{32 u}}{1024}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{x^{32} \log{\left(x \right)}}{32} - \frac{x^{32}}{1024}$

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{31}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{31}\, dx = \frac{x^{32}}{32}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{31}}{32}\, dx = \frac{\int x^{31}\, dx}{32}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{31}\, dx = \frac{x^{32}}{32}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{32}}{1024}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\frac{x^{32} \log{\left(x \right)}}{32} - \frac{x^{32}}{1024}}{\log{\left(10 \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{32} \left(32 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{1024 \log{\left(10 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{32} \left(32 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{1024 \log{\left(10 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{32} \left(32 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{1024 \log{\left(10 \right)}}+ \mathrm{constant}$