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Resolución de integrales/ x^3+2/ sin2x/ sin2x+2x^3+2

Integral de sin2x+2x^3+2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                         
  /                         
 |                          
 |  /              3    \   
 |  \sin(2*x) + 2*x  + 2/ dx
 |                          
/                           
0
∫01((2x3+sin⁡(2x))+2) dx\int\limits_{0}^{1} \left(\left(2 x^{3} + \sin{\left(2 x \right)}\right) + 2\right)\, dx 
Integral(sin(2*x) + 2*x^3 + 2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x3 dx=2∫x3 dx\int 2 x^{3}\, dx = 2 \int x^{3}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x42\frac{x^{4}}{2}

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        Método #2

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2sin⁡(x)cos⁡(x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

              Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

              ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

            Método #2

            1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

              Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

              ∫u du\int u\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡2(x)2\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡2(x)- \cos^{2}{\left(x \right)}

      El resultado es: x42−cos⁡(2x)2\frac{x^{4}}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫2 dx=2x\int 2\, dx = 2 x

    El resultado es: x42+2x−cos⁡(2x)2\frac{x^{4}}{2} + 2 x - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x42+2x−cos⁡(2x)2+constant\frac{x^{4}}{2} + 2 x - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x42+2x−cos⁡(2x)2+constant\frac{x^{4}}{2} + 2 x - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                  
 |                                 4                 
 | /              3    \          x          cos(2*x)
 | \sin(2*x) + 2*x  + 2/ dx = C + -- + 2*x - --------
 |                                2             2    
/
∫((2x3+sin⁡(2x))+2) dx=C+x42+2x−cos⁡(2x)2\int \left(\left(2 x^{3} + \sin{\left(2 x \right)}\right) + 2\right)\, dx = C + \frac{x^{4}}{2} + 2 x - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-510
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
    cos(2)
3 - ------
      2
3−cos⁡(2)23 - \frac{\cos{\left(2 \right)}}{2} 
=
= 
    cos(2)
3 - ------
      2
3−cos⁡(2)23 - \frac{\cos{\left(2 \right)}}{2} 
3 - cos(2)/2
Respuesta numérica [src] 
3.20807341827357
3.20807341827357

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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