Integral de (x^2+2)e^-2x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{2} + 2$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2 e^{2}}$:

      $\int \frac{u}{2 e^{2}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u\, du = \frac{\int u\, du}{2 e^{2}}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{4 e^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x^{2} + 2\right)^{2}}{4 e^{2}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \frac{x^{2} + 2}{e^{2}} = \frac{x^{3}}{e^{2}} + \frac{2 x}{e^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{3}}{e^{2}}\, dx = \frac{\int x^{3}\, dx}{e^{2}}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{4}}{4 e^{2}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 x}{e^{2}}\, dx = \frac{2 \int x\, dx}{e^{2}}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{e^{2}}$

      El resultado es: $\frac{x^{4}}{4 e^{2}} + \frac{x^{2}}{e^{2}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \frac{x^{2} + 2}{e^{2}} = \frac{x^{3} + 2 x}{e^{2}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x^{3} + 2 x}{e^{2}}\, dx = \frac{\int \left(x^{3} + 2 x\right)\, dx}{e^{2}}$

      1. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

         El resultado es: $\frac{x^{4}}{4} + x^{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\frac{x^{4}}{4} + x^{2}}{e^{2}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{2} + 2\right)^{2}}{4 e^{2}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{2} + 2\right)^{2}}{4 e^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{2} + 2\right)^{2}}{4 e^{2}}+ \mathrm{constant}$