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Resolución de integrales/ sqrt(36-x^2)/ x^2/sqrt(36-x^2)^3

Integral de x^2/sqrt(36-x^2)^3 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                 
  /                 
 |                  
 |         2        
 |        x         
 |  ------------- dx
 |              3   
 |     _________    
 |    /       2     
 |  \/  36 - x      
 |                  
/                   
0
∫01x2(36−x2)3 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\left(\sqrt{36 - x^{2}}\right)^{3}}\, dx 
Integral(x^2/(sqrt(36 - x^2))^3, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2(36−x2)3=−x2x236−x2−3636−x2\frac{x^{2}}{\left(\sqrt{36 - x^{2}}\right)^{3}} = - \frac{x^{2}}{x^{2} \sqrt{36 - x^{2}} - 36 \sqrt{36 - x^{2}}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−x2x236−x2−3636−x2) dx=−∫x2x236−x2−3636−x2 dx\int \left(- \frac{x^{2}}{x^{2} \sqrt{36 - x^{2}} - 36 \sqrt{36 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{x^{2} \sqrt{36 - x^{2}} - 36 \sqrt{36 - x^{2}}}\, dx

        TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=6*sin(_theta), rewritten=-tan(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=tan(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=sec(_theta)**2 - 1, substep=AddRule(substeps=[TrigRule(func='sec**2', arg=_theta, context=sec(_theta)**2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=-1, context=-1, symbol=_theta)], context=sec(_theta)**2 - 1, symbol=_theta), context=tan(_theta)**2, symbol=_theta), context=-tan(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x > -6) & (x < 6), context=x**2/(x**2*sqrt(36 - x**2) - 36*sqrt(36 - x**2)), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: −{−x36−x2+asin⁡(x6)for x>−6∧x<6- \begin{cases} - \frac{x}{\sqrt{36 - x^{2}}} + \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{6} \right)} & \text{for}\: x > -6 \wedge x < 6 \end{cases}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2(36−x2)3=x2−x236−x2+3636−x2\frac{x^{2}}{\left(\sqrt{36 - x^{2}}\right)^{3}} = \frac{x^{2}}{- x^{2} \sqrt{36 - x^{2}} + 36 \sqrt{36 - x^{2}}}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      x2−x236−x2+3636−x2=−x2x236−x2−3636−x2\frac{x^{2}}{- x^{2} \sqrt{36 - x^{2}} + 36 \sqrt{36 - x^{2}}} = - \frac{x^{2}}{x^{2} \sqrt{36 - x^{2}} - 36 \sqrt{36 - x^{2}}}

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−x2x236−x2−3636−x2) dx=−∫x2x236−x2−3636−x2 dx\int \left(- \frac{x^{2}}{x^{2} \sqrt{36 - x^{2}} - 36 \sqrt{36 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{x^{2} \sqrt{36 - x^{2}} - 36 \sqrt{36 - x^{2}}}\, dx

        TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=6*sin(_theta), rewritten=-tan(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=tan(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=sec(_theta)**2 - 1, substep=AddRule(substeps=[TrigRule(func='sec**2', arg=_theta, context=sec(_theta)**2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=-1, context=-1, symbol=_theta)], context=sec(_theta)**2 - 1, symbol=_theta), context=tan(_theta)**2, symbol=_theta), context=-tan(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x > -6) & (x < 6), context=x**2/(x**2*sqrt(36 - x**2) - 36*sqrt(36 - x**2)), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: −{−x36−x2+asin⁡(x6)for x>−6∧x<6- \begin{cases} - \frac{x}{\sqrt{36 - x^{2}}} + \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{6} \right)} & \text{for}\: x > -6 \wedge x < 6 \end{cases}

  2. Ahora simplificar:

    {x36−x2−asin⁡(x6)for x>−6∧x<6\begin{cases} \frac{x}{\sqrt{36 - x^{2}}} - \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{6} \right)} & \text{for}\: x > -6 \wedge x < 6 \end{cases}

  3. Añadimos la constante de integración:

    {x36−x2−asin⁡(x6)for x>−6∧x<6+constant\begin{cases} \frac{x}{\sqrt{36 - x^{2}}} - \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{6} \right)} & \text{for}\: x > -6 \wedge x < 6 \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

{x36−x2−asin⁡(x6)for x>−6∧x<6+constant\begin{cases} \frac{x}{\sqrt{36 - x^{2}}} - \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{6} \right)} & \text{for}\: x > -6 \wedge x < 6 \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                          
 |                                                                           
 |        2               //       x             /x\                        \
 |       x                ||- ------------ + asin|-|  for And(x > -6, x < 6)|
 | ------------- dx = C - |<     _________       \6/                        |
 |             3          ||    /       2                                   |
 |    _________           \\  \/  36 - x                                    /
 |   /       2                                                               
 | \/  36 - x                                                                
 |                                                                           
/
∫x2(36−x2)3 dx=C−{−x36−x2+asin⁡(x6)for x>−6∧x<6\int \frac{x^{2}}{\left(\sqrt{36 - x^{2}}\right)^{3}}\, dx = C - \begin{cases} - \frac{x}{\sqrt{36 - x^{2}}} + \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{6} \right)} & \text{for}\: x > -6 \wedge x < 6 \end{cases}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.0000.005
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
               ____
             \/ 35 
-asin(1/6) + ------
               35
−asin⁡(16)+3535- \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{6} \right)} + \frac{\sqrt{35}}{35} 
=
= 
               ____
             \/ 35 
-asin(1/6) + ------
               35
−asin⁡(16)+3535- \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{6} \right)} + \frac{\sqrt{35}}{35} 
-asin(1/6) + sqrt(35)/35
Respuesta numérica [src] 
0.00158277172601399
0.00158277172601399

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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