Integral de x^2/sqrt(36-x^2)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{\left(\sqrt{36 - x^{2}}\right)^{3}} = - \frac{x^{2}}{x^{2} \sqrt{36 - x^{2}} - 36 \sqrt{36 - x^{2}}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x^{2}}{x^{2} \sqrt{36 - x^{2}} - 36 \sqrt{36 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{x^{2} \sqrt{36 - x^{2}} - 36 \sqrt{36 - x^{2}}}\, dx$

      TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=6*sin(_theta), rewritten=-tan(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=tan(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=sec(_theta)**2 - 1, substep=AddRule(substeps=[TrigRule(func='sec**2', arg=_theta, context=sec(_theta)**2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=-1, context=-1, symbol=_theta)], context=sec(_theta)**2 - 1, symbol=_theta), context=tan(_theta)**2, symbol=_theta), context=-tan(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x > -6) & (x < 6), context=x**2/(x**2*sqrt(36 - x**2) - 36*sqrt(36 - x**2)), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: $- \begin{cases} - \frac{x}{\sqrt{36 - x^{2}}} + \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{6} \right)} & \text{for}\: x > -6 \wedge x < 6 \end{cases}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{\left(\sqrt{36 - x^{2}}\right)^{3}} = \frac{x^{2}}{- x^{2} \sqrt{36 - x^{2}} + 36 \sqrt{36 - x^{2}}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{- x^{2} \sqrt{36 - x^{2}} + 36 \sqrt{36 - x^{2}}} = - \frac{x^{2}}{x^{2} \sqrt{36 - x^{2}} - 36 \sqrt{36 - x^{2}}}$

   3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x^{2}}{x^{2} \sqrt{36 - x^{2}} - 36 \sqrt{36 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{x^{2} \sqrt{36 - x^{2}} - 36 \sqrt{36 - x^{2}}}\, dx$

      TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=6*sin(_theta), rewritten=-tan(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=tan(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=sec(_theta)**2 - 1, substep=AddRule(substeps=[TrigRule(func='sec**2', arg=_theta, context=sec(_theta)**2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=-1, context=-1, symbol=_theta)], context=sec(_theta)**2 - 1, symbol=_theta), context=tan(_theta)**2, symbol=_theta), context=-tan(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x > -6) & (x < 6), context=x**2/(x**2*sqrt(36 - x**2) - 36*sqrt(36 - x**2)), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: $- \begin{cases} - \frac{x}{\sqrt{36 - x^{2}}} + \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{6} \right)} & \text{for}\: x > -6 \wedge x < 6 \end{cases}$

2. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} \frac{x}{\sqrt{36 - x^{2}}} - \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{6} \right)} & \text{for}\: x > -6 \wedge x < 6 \end{cases}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} \frac{x}{\sqrt{36 - x^{2}}} - \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{6} \right)} & \text{for}\: x > -6 \wedge x < 6 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} \frac{x}{\sqrt{36 - x^{2}}} - \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{6} \right)} & \text{for}\: x > -6 \wedge x < 6 \end{cases}+ \mathrm{constant}$