Integral de (x^4+x^0,5-3)/x^(5/3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{2 u^{8} + 2 u - 6}{u^{\frac{7}{3}}}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{2 u^{8} + 2 u - 6}{u^{\frac{7}{3}}} = 2 u^{\frac{17}{3}} + \frac{2}{u^{\frac{4}{3}}} - \frac{6}{u^{\frac{7}{3}}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{\frac{17}{3}}\, du = 2 \int u^{\frac{17}{3}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{\frac{17}{3}}\, du = \frac{3 u^{\frac{20}{3}}}{20}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{\frac{20}{3}}}{10}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2}{u^{\frac{4}{3}}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{\frac{4}{3}}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{\frac{4}{3}}}\, du = - \frac{3}{\sqrt[3]{u}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6}{\sqrt[3]{u}}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{6}{u^{\frac{7}{3}}}\right)\, du = - 6 \int \frac{1}{u^{\frac{7}{3}}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{\frac{7}{3}}}\, du = - \frac{3}{4 u^{\frac{4}{3}}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9}{2 u^{\frac{4}{3}}}$

         El resultado es: $\frac{3 u^{\frac{20}{3}}}{10} - \frac{6}{\sqrt[3]{u}} + \frac{9}{2 u^{\frac{4}{3}}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3 x^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{9}{2 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{6}{\sqrt[6]{x}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(\sqrt{x} + x^{4}\right) - 3}{x^{\frac{5}{3}}} = x^{\frac{7}{3}} - \frac{3}{x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{7}{6}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{\frac{7}{3}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{10}{3}}}{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{3}{x^{\frac{5}{3}}}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}\, dx = - \frac{3}{2 x^{\frac{2}{3}}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9}{2 x^{\frac{2}{3}}}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{\frac{7}{6}}}\, dx = - \frac{6}{\sqrt[6]{x}}$

      El resultado es: $\frac{3 x^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{9}{2 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{6}{\sqrt[6]{x}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 x^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{9}{2 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{6}{\sqrt[6]{x}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 x^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{9}{2 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{6}{\sqrt[6]{x}}+ \mathrm{constant}$