Integral de x*arctg(4x) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(4 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{4}{16 x^{2} + 1}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{2 x^{2}}{16 x^{2} + 1}\, dx = 2 \int \frac{x^{2}}{16 x^{2} + 1}\, dx$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{16 x^{2} + 1} = \frac{1}{16} - \frac{1}{16 \left(16 x^{2} + 1\right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{1}{16}\, dx = \frac{x}{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{16 \left(16 x^{2} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{16 x^{2} + 1}\, dx}{16}$

         PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=16, c=1, context=1/(16*x**2 + 1), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=16, c=1, context=1/(16*x**2 + 1), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=16, c=1, context=1/(16*x**2 + 1), symbol=x), False)], context=1/(16*x**2 + 1), symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{64}$

      El resultado es: $\frac{x}{16} - \frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{64}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x}{8} - \frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{32}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{2} - \frac{x}{8} + \frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{32}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{2} - \frac{x}{8} + \frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{32}+ \mathrm{constant}$