Integral de 2+3x/x^2(3+x) dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{3 x}{x^{2}} \left(x + 3\right) = 3 + \frac{9}{x}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 3\, dx = 3 x$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{9}{x}\, dx = 9 \int \frac{1}{x}\, dx$

            1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $9 \log{\left(x \right)}$

         El resultado es: $3 x + 9 \log{\left(x \right)}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{3 x}{x^{2}} \left(x + 3\right) = \frac{3 x + 9}{x}$

      2. que $u = 3 x$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u + 9}{u}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u + 9}{u} = 1 + \frac{9}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{9}{u}\, du = 9 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $9 \log{\left(u \right)}$

            El resultado es: $u + 9 \log{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $3 x + 9 \log{\left(3 x \right)}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 2\, dx = 2 x$

   El resultado es: $5 x + 9 \log{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $5 x + 9 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$5 x + 9 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$