Integral de (x−6)⋅sinx/2dx dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\left(x - 6\right) \sin{\left(x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \left(x - 6\right) \sin{\left(x \right)}\, dx}{2}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(x - 6\right) \sin{\left(x \right)} = x \sin{\left(x \right)} - 6 \sin{\left(x \right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(x \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 6 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 6 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $6 \cos{\left(x \right)}$

         El resultado es: $- x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + 6 \cos{\left(x \right)}$

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x - 6$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(x \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + 3 \cos{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + 3 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + 3 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$