Integral de (x^3+3*x*sqrt(x)-2)/x^4 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{2 u^{6} + 6 u^{3} - 4}{u^{7}}\, du$

      1. que $u = u^{3}$.

         Luego que $du = 3 u^{2} du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{2 u^{2} + 6 u - 4}{3 u^{3}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2 u^{2} + 6 u - 4}{u^{3}}\, du = \frac{\int \frac{2 u^{2} + 6 u - 4}{u^{3}}\, du}{3}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{2 u^{2} + 6 u - 4}{u^{3}} = \frac{2}{u} + \frac{6}{u^{2}} - \frac{4}{u^{3}}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{2}{u}\, du = 2 \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(u \right)}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{6}{u^{2}}\, du = 6 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6}{u}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{4}{u^{3}}\right)\, du = - 4 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{u^{2}}$

               El resultado es: $2 \log{\left(u \right)} - \frac{6}{u} + \frac{2}{u^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \log{\left(u \right)}}{3} - \frac{2}{u} + \frac{2}{3 u^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 \log{\left(u^{3} \right)}}{3} - \frac{2}{u^{3}} + \frac{2}{3 u^{6}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \log{\left(x^{\frac{3}{2}} \right)}}{3} + \frac{2}{3 x^{3}} - \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(\sqrt{x} 3 x + x^{3}\right) - 2}{x^{4}} = \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{4}} + \frac{3}{x^{\frac{5}{2}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{2}{x^{4}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x^{4}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{4}}\, dx = - \frac{1}{3 x^{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{3 x^{3}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3}{x^{\frac{5}{2}}}\, dx = 3 \int \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}\, dx = - \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}$

      El resultado es: $\log{\left(x \right)} + \frac{2}{3 x^{3}} - \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \log{\left(x^{\frac{3}{2}} \right)}}{3} + \frac{2}{3 x^{3}} - \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \log{\left(x^{\frac{3}{2}} \right)}}{3} + \frac{2}{3 x^{3}} - \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}+ \mathrm{constant}$