Sr Examen
Integral de 1/(2*sin(t)) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | 1 | -------- dt | 2*sin(t) | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{2 \sin{\left(t \right)}}\, dt$$
Integral(1/(2*sin(t)), (t, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | 1 | -------- dt | 2*sin(t) | /
La función subintegral
1 -------- 2*sin(t)
Multiplicamos numerador y denominador por
sin(t)
obtendremos
/sin(t)\
|------|
1 \ 2 /
-------- = --------
2*sin(t) 2
sin (t) Como
sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
entonces
2 2 sin (t) = 1 - cos (t)
cambiamos denominador
/sin(t)\ /sin(t)\ |------| |------| \ 2 / \ 2 / -------- = ----------- 2 2 sin (t) 1 - cos (t)
hacemos el cambio
u = cos(t)
entonces integral
/ | | /sin(t)\ | |------| | \ 2 / | ----------- dt = | 2 | 1 - cos (t) | /
/ | | /sin(t)\ | |------| | \ 2 / | ----------- dt = | 2 | 1 - cos (t) | /
Como du = -dt*sin(t)
/ | | -1 | ---------- du | / 2\ | 2*\1 - u / | /
Reescribimos la función subintegral
/-1 \
|---|
-1 \ 2 / / 1 1 \
---------- = -----*|----- + -----|
/ 2\ 2 \1 - u 1 + u/
2*\1 - u / entonces
/ /
| |
| 1 | 1
| ----- du | ----- du
/ | 1 + u | 1 - u
| | |
| -1 / / =
| ---------- du = - ----------- - -----------
| / 2\ 4 4
| 2*\1 - u /
|
/
= -log(1 + u)/4 + log(-1 + u)/4
hacemos cambio inverso
u = cos(t)
Respuesta
/ | | 1 log(1 + cos(t)) log(-1 + cos(t)) | -------- dt = - --------------- + ---------------- + C0 | 2*sin(t) 4 4 | /
donde C0 es la constante que no depende de t
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ / /t\\ | log|tan|-|| | 1 \ \2// | -------- dt = C + ----------- | 2*sin(t) 2 | /
$$\int \frac{1}{2 \sin{\left(t \right)}}\, dt = C + \frac{\log{\left(\tan{\left(\frac{t}{2} \right)} \right)}}{2}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
pi*I
oo + ----
4
$$\infty + \frac{i \pi}{4}$$
=
=
pi*I
oo + ----
4
$$\infty + \frac{i \pi}{4}$$
oo + pi*i/4
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.