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Resolución de integrales/ cos(x)/ x^5*cos(x)

Integral de x^5*cos(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1             
  /             
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 |   5          
 |  x *cos(x) dx
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/               
0
∫01x5cos⁡(x) dx\int\limits_{0}^{1} x^{5} \cos{\left(x \right)}\, dx 
Integral(x^5*cos(x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=x5u{\left(x \right)} = x^{5} y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

    Entonces du⁡(x)=5x4\operatorname{du}{\left(x \right)} = 5 x^{4}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. La integral del coseno es seno:

      ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=5x4u{\left(x \right)} = 5 x^{4} y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

    Entonces du⁡(x)=20x3\operatorname{du}{\left(x \right)} = 20 x^{3}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. La integral del seno es un coseno menos:

      ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

    Ahora resolvemos podintegral.

  3. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=−20x3u{\left(x \right)} = - 20 x^{3} y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

    Entonces du⁡(x)=−60x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 60 x^{2}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. La integral del coseno es seno:

      ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

    Ahora resolvemos podintegral.

  4. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=−60x2u{\left(x \right)} = - 60 x^{2} y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

    Entonces du⁡(x)=−120x\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 120 x.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. La integral del seno es un coseno menos:

      ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

    Ahora resolvemos podintegral.

  5. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=120xu{\left(x \right)} = 120 x y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

    Entonces du⁡(x)=120\operatorname{du}{\left(x \right)} = 120.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. La integral del coseno es seno:

      ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

    Ahora resolvemos podintegral.

  6. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫120sin⁡(x) dx=120∫sin⁡(x) dx\int 120 \sin{\left(x \right)}\, dx = 120 \int \sin{\left(x \right)}\, dx

    1. La integral del seno es un coseno menos:

      ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

    Por lo tanto, el resultado es: −120cos⁡(x)- 120 \cos{\left(x \right)}

  7. Añadimos la constante de integración:

    x5sin⁡(x)+5x4cos⁡(x)−20x3sin⁡(x)−60x2cos⁡(x)+120xsin⁡(x)+120cos⁡(x)+constantx^{5} \sin{\left(x \right)} + 5 x^{4} \cos{\left(x \right)} - 20 x^{3} \sin{\left(x \right)} - 60 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 120 x \sin{\left(x \right)} + 120 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x5sin⁡(x)+5x4cos⁡(x)−20x3sin⁡(x)−60x2cos⁡(x)+120xsin⁡(x)+120cos⁡(x)+constantx^{5} \sin{\left(x \right)} + 5 x^{4} \cos{\left(x \right)} - 20 x^{3} \sin{\left(x \right)} - 60 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 120 x \sin{\left(x \right)} + 120 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
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 |  5                               5              2              3             4                      
 | x *cos(x) dx = C + 120*cos(x) + x *sin(x) - 60*x *cos(x) - 20*x *sin(x) + 5*x *cos(x) + 120*x*sin(x)
 |                                                                                                     
/
∫x5cos⁡(x) dx=C+x5sin⁡(x)+5x4cos⁡(x)−20x3sin⁡(x)−60x2cos⁡(x)+120xsin⁡(x)+120cos⁡(x)\int x^{5} \cos{\left(x \right)}\, dx = C + x^{5} \sin{\left(x \right)} + 5 x^{4} \cos{\left(x \right)} - 20 x^{3} \sin{\left(x \right)} - 60 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 120 x \sin{\left(x \right)} + 120 \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900200
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-120 + 65*cos(1) + 101*sin(1)
−120+65cos⁡(1)+101sin⁡(1)-120 + 65 \cos{\left(1 \right)} + 101 \sin{\left(1 \right)} 
=
= 
-120 + 65*cos(1) + 101*sin(1)
−120+65cos⁡(1)+101sin⁡(1)-120 + 65 \cos{\left(1 \right)} + 101 \sin{\left(1 \right)} 
-120 + 65*cos(1) + 101*sin(1)
Respuesta numérica [src] 
0.108219347026629
0.108219347026629

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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