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Resolución de integrales/ x/cosx/ sin^3/ sin^3x/cosx

Integral de sin^3x/cosx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |     3      
 |  sin (x)   
 |  ------- dx
 |   cos(x)   
 |            
/             
0
∫01sin⁡3(x)cos⁡(x) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx 
Integral(sin(x)^3/cos(x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡3(x)cos⁡(x)=(1−cos⁡2(x))sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = \frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

      Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

      ∫u2−1u du\int \frac{u^{2} - 1}{u}\, du

      1. que u=u2u = u^{2}.

        Luego que du=2ududu = 2 u du y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫u−12u du\int \frac{u - 1}{2 u}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u−1u du=∫u−1u du2\int \frac{u - 1}{u}\, du = \frac{\int \frac{u - 1}{u}\, du}{2}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u−1u=1−1u\frac{u - 1}{u} = 1 - \frac{1}{u}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 du=u\int 1\, du = u

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−1u) du=−∫1u du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

            El resultado es: u−log⁡(u)u - \log{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: u2−log⁡(u)2\frac{u}{2} - \frac{\log{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        u22−log⁡(u2)2\frac{u^{2}}{2} - \frac{\log{\left(u^{2} \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −log⁡(cos⁡2(x))2+cos⁡2(x)2- \frac{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−cos⁡2(x))sin⁡(x)cos⁡(x)=−sin⁡(x)cos⁡2(x)−sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = - \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−sin⁡(x)cos⁡2(x)−sin⁡(x)cos⁡(x)) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡2(x)−sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u2−1u) du\int \left(- \frac{u^{2} - 1}{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u2−1u du=−∫u2−1u du\int \frac{u^{2} - 1}{u}\, du = - \int \frac{u^{2} - 1}{u}\, du

          1. que u=u2u = u^{2}.

            Luego que du=2ududu = 2 u du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫u−12u du\int \frac{u - 1}{2 u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u−1u du=∫u−1u du2\int \frac{u - 1}{u}\, du = \frac{\int \frac{u - 1}{u}\, du}{2}

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                u−1u=1−1u\frac{u - 1}{u} = 1 - \frac{1}{u}

              2. Integramos término a término:

                1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  ∫1 du=u\int 1\, du = u

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫(−1u) du=−∫1u du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

                  1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                  Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

                El resultado es: u−log⁡(u)u - \log{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: u2−log⁡(u)2\frac{u}{2} - \frac{\log{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            u22−log⁡(u2)2\frac{u^{2}}{2} - \frac{\log{\left(u^{2} \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −u22+log⁡(u2)2- \frac{u^{2}}{2} + \frac{\log{\left(u^{2} \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(cos⁡2(x))2−cos⁡2(x)2\frac{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(cos⁡2(x))2+cos⁡2(x)2- \frac{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−cos⁡2(x))sin⁡(x)cos⁡(x)=−sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡(x)cos⁡(x)) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: cos⁡2(x)2\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−1u) du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u du=−∫1u du\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −log⁡(cos⁡(x))- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}

      El resultado es: −log⁡(cos⁡(x))+cos⁡2(x)2- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −log⁡(cos⁡2(x))2+cos⁡2(x)2+constant- \frac{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−log⁡(cos⁡2(x))2+cos⁡2(x)2+constant- \frac{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                       
 |                                        
 |    3                2         /   2   \
 | sin (x)          cos (x)   log\cos (x)/
 | ------- dx = C + ------- - ------------
 |  cos(x)             2           2      
 |                                        
/
∫sin⁡3(x)cos⁡(x) dx=C−log⁡(cos⁡2(x))2+cos⁡2(x)2\int \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx = C - \frac{\log{\left(\cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
         2                 
  1   cos (1)              
- - + ------- - log(cos(1))
  2      2
−12+cos⁡2(1)2−log⁡(cos⁡(1))- \frac{1}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(1 \right)}}{2} - \log{\left(\cos{\left(1 \right)} \right)} 
=
= 
         2                 
  1   cos (1)              
- - + ------- - log(cos(1))
  2      2
−12+cos⁡2(1)2−log⁡(cos⁡(1))- \frac{1}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(1 \right)}}{2} - \log{\left(\cos{\left(1 \right)} \right)} 
-1/2 + cos(1)^2/2 - log(cos(1))
Respuesta numérica [src] 
0.261589761249229
0.261589761249229

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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